每次提到贝叶斯这三个字，心中的仰慕之情油然而生。感觉贝叶斯推断是众多机器学习算法的基础（尤其是统计学习）。一个很简单的公式应用到非常复杂和广泛的领域，真是一件了不起的事情。
贝叶斯公式
再讲贝叶斯公式之前，首先回顾一下概率的知识。若 A、B 是两个事件，我们用P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。若果A和B相互独立，那么我们有P(AB)=P(A)P(B)；如果A、B不独立，我们有P(AB)=P(B)P(A|B)。
贝叶斯公式为
证明起来也是比较简单的（根据条件概率公式直接得到）
贝叶斯公式的强大之处是他建立了P(A|B)和P(B|A)的桥梁，在很多情况下，我们可能难以计算P(A|B)，那么通过贝叶斯公式，有效地转化为其他的概率的计算，这种思想是非常重要的，感觉也是贝叶斯的精髓所在。记得大学的时候我的概率统计老师经常讲“结果已知，原因未知，就用贝叶斯公式”。当时只是为了便与考试，没有深入理解这句话的含义。在监督学习中，我们已知一组样本的特征X，需要对类别Y进行推断，也就是计算Y=t的概率。但是Y是未知的，也就是我们需要计算P(Y=t|X)，那么我们可以利用贝叶斯公式求出
这里：
P(X|Y=t)：可以直接统计training sample得到，当然对于离散和连续的情况都要进行相应的处理。
P(Y=t)：就是training sample 中类别t出现的概率
P(X) ：根据全概率公式得到，对于分类的任务来说，P(X)是一个常数，往往可以不参与计算（相当于一个标准化的操作）
朴素贝叶斯分类器（从一个例子开始）
Andrew Ng大神在他的CS 229 note举了这样一个例子：考虑一个邮件分类问题，假设我们想要构造这样一个分类器，它能够根据邮件中出现的单词决定这是否是一封垃圾邮件。首先我们建立一个字典，一种可能的字典构建方案为设计一个数组（当然数组可能不是最佳的设计方案），这个字典为
那么如何建立feature X呢，我们这样建立，对于一封邮件，如果包含字典中的单词i，那么就在X的相应位置设为1.例如，一封邮件包含bag和food两个单词，那么它的feature为
那么，我们的训练集为如下，其中yi代表类别标签
一个很强的假设：条件独立
在贝叶斯公式中，我们需要计算P(X|Y)=P(x1,x2,...xm | Y)，根据多项式分布（http://zhangxw.gotoip1.com/ZCL/part2/C11g.htm），我们的模型有2m 种输出。也就是我们需要2m 个参数计算贝叶斯公式，模型太复杂，因此引出条件独立的概念：在给定类别Y的情况下，xi 和 xj 的出现是独立的，在这个例子中就是说在一封邮件中，假设我们已经认为这封邮件是垃圾邮件（条件），那么单词buy和food的出现是独立的。乍一看这个假设可能没有很大的问题，但也是这个模型最大的弱点。有一种情况比方说我们的经常把 have lunch一起使用，显然这两个单词是不独立的，假设独立性必然存在一定的问题。但是为了简化计算，我们引入了这个条件独立，这就是为什么我们叫朴素贝叶斯。
有了条件独立的概念，P(X|Y)的计算为
这样计算就非常简单咯。
举个数据挖掘课上的例子来进行解释
最后一列buys_computer代表了数据的类别，X属性为age, income, student和credit_rating四个。
来了一个新的样本<age,income,student,credit_rating>=<20, medium,yes,fair>，我们利用贝叶斯公式计算是否buys_computer
第一步：上贝叶斯公式
第二步：计算各个量
P(age<=30|Y=yes)=2/9
P(income=medium|Y=yes)=4/9
P(student=yes|Y=yes)=6/9
P(credit_rating=fair|Y=yes)=6/9
P(Y=yes)=9/14
同理可以得到
P(age<=30|Y=no)=3/5
P(income=medium|Y=no)=2/5
P(student=yes|Y=no)=1/5
P(credit_rating=fair|Y=no)=2/5
P(Y=no)=5/14
第三步：计算后验概率
=2/9*4/9*6/9*6/9*(9/14)/N=0.028/N
=3/5*2/5*1/5*2/5*(5/14)/N=0.007/N
第四步：决策
一般使用最大后验概率原则计算，对于这个问题我们可以给出P(Y=yes|X)的概率较大，因此预测筒子是buys_computer。
拉普拉斯平滑
考虑如下的情况：假设在某个训练数据D上，类buys_computer包含1000个元组，其中0个元组income=low，990个元组income=medium，10个元组income=high。这些事件的概率分别为0,0.990,0.010。对于一个新的测试数据，如果income=low，因为我们的训练集合上P(income=low）=0,所以带入贝叶斯公式以后。该样本属于yes和no的概率均为0，那么就出现了不可分的情况，这就引入了拉普拉斯平滑。
具体操作为：如果出现元组概率为0的情况，那么在每一种可能的类别中的概率分别加一个比较小的数字，避免出现0的情况，比如我们可以将1加入low,medium和high的元组，这样元组总数为1003，low为1，medium为991，high为11。这样就避免了0概率值的出现，并且对概率的影响不大。
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