[labuladong算法小抄]二分查找详解

本文转自labuladong的算法小抄 ， 代码部分我使用go重新描述

先给大家讲个笑话乐呵一下：

有一天阿东到图书馆借了 N 本书，出图书馆的时候，警报响了，于是保安把阿东拦下，要检查一下哪本书没有登记出借。阿东正准备把每一本书在报警器下过一下，以找出引发警报的书，但是保安露出不屑的眼神：你连二分查找都不会吗？于是保安把书分成两堆，让第一堆过一下报警器，报警器响；于是再把这堆书分成两堆…… 最终，检测了 logN 次之后，保安成功的找到了那本引起警报的书，露出了得意和嘲讽的笑容。于是阿东背着剩下的书走了。

从此，图书馆丢了 N - 1 本书。

二分查找并不简单，Knuth 大佬（发明 KMP 算法的那位）都说二分查找：思路很简单，细节是魔鬼。很多人喜欢拿整型溢出的 bug 说事儿，但是二分查找真正的坑根本就不是那个细节问题，而是在于到底要给 mid 加一还是减一，while 里到底用 <= 还是 <。

你要是没有正确理解这些细节，写二分肯定就是玄学编程，有没有 bug 只能靠菩萨保佑。我特意写了一首诗来歌颂该算法，概括本文的主要内容，建议保存：

 本文就来探究几个最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。而且，我们就是要深入细节，比如不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。

零、二分查找框架

func binarySearch(nums []int, target int)int {
    left := 0, right := ...

    for ...  {
        mid := left + (right - left) / 2;
        if (nums[mid] == target) {
            ...
        } else if nums[mid] < target {
            left = ...
        } else if nums[mid] > target {
            right = ...
        }
    }
    return ...
}

分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文都会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。

其中 ... 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。

另外声明一下，计算 mid 时需要防止溢出，代码中 left + (right - left) / 2 就和 (left + right) / 2 的结果相同，但是有效防止了 left 和 right 太大直接相加导致溢出。

一、寻找一个数（基本的二分搜索）

这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1。

func binarySearch(nums []int, target int) int {
    left := 0
    right := len(nums) - 1 //注意

    for left <= right { //注意
        mid := left + (right-left)/2
        if nums[mid] == target {
            return mid
        } else if nums[mid] < target {
            left = mid + 1 //注意
        } else if nums[mid] > target {
            right = mid - 1 //注意
        }
    }
    return -1
}

1、为什么 for循环的条件中是 <=，而不是 <？

答：因为初始化 right 的赋值是 nums.length - 1，即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。

这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left, right]，后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。

我们这个算法中使用的是前者 [left, right] 两端都闭的区间。这个区间其实就是每次进行搜索的区间。

什么时候应该停止搜索呢？当然，找到了目标值的时候可以终止：

if nums[mid] == target {
    return mid
}

但如果没找到，就需要 for 循环终止，然后返回 -1。那 for 循环什么时候应该终止？搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。

for left <= right 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3, 2]，可见这时候区间为空，因为没有数字既大于等于 3 又小于等于 2 的吧。所以这时候 for 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可。

for left < right 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是 [right, right]，或者带个具体的数字进去 [2, 2]，这时候区间非空，还有一个数 2，但此时 for 循环终止了。也就是说这区间 [2, 2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就是错误的。

当然，如果你非要用 for left < right  也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：

    //...
    for left < right {
        // ...
    }
    return nums[left] == target ? left : -1

2、为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid，没有这些加加减减，到底怎么回事，怎么判断？

答：这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就能够很容易判断。

刚才明确了「搜索区间」这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即 [left, right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，下一步应该去搜索哪里呢？

当然是去搜索 [left, mid-1] 或者 [mid+1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

3、此算法有什么缺陷？

答：至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。

比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3]，target 为 2，此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的。

这样的需求很常见，你也许会说，找到一个 target，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的复杂度了。

我们后续的算法就来讨论这两种二分查找的算法。

二、寻找左侧边界的二分搜索

以下是最常见的代码形式，其中的标记是需要注意的细节：

func LeftBound(nums []int, target int) int {
    if len(nums) == 0 {
        return -1
    }
    left := 0
    right := len(nums) //注意

    for left < right { //注意
        mid := left + (right-left)/2
        if nums[mid] == target {
            right = mid
        } else if nums[mid] < target {
            left = mid + 1
        } else if nums[mid] > target {
            right = mid //注意
        }
    }
    return left
}

1、为什么 for 中是 < 而不是 <=?

答：用相同的方法分析，因为 right = len(nums) 而不是 len(nums) - 1。因此每次循环的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开。

for left < right 终止的条件是 left == right，此时搜索区间 [left, left) 为空，所以可以正确终止。

PS：这里先要说一个搜索左右边界和上面这个算法的一个区别，也是很多读者问的：刚才的 right 不是 len(nums) - 1 吗，为啥这里非要写成 len(nums) 使得「搜索区间」变成左闭右开呢？

因为对于搜索左右侧边界的二分查找，这种写法比较普遍，我就拿这种写法举例了，保证你以后遇到这类代码可以理解。你非要用两端都闭的写法反而更简单，我会在后面写相关的代码，把三种二分搜索都用一种两端都闭的写法统一起来，你耐心往后看就行了。

2、为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？

答：因为要一步一步来，先理解一下这个「左侧边界」有什么特殊含义：

对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读：nums 中小于 2 的元素有 1 个。

比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7], target = 1，算法会返回 0，含义是：nums 中小于 1 的元素有 0 个。

再比如说 nums = [2,3,5,7], target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。

综上可以看出，函数的返回值（即 left 变量的值）取值区间是闭区间 [0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1：

    if left == len(nums) || nums[left] != target {
        return -1
    }
    return left

3、为什么 left = mid + 1，right = mid ？和之前的算法不一样？

答：这个很好解释，因为我们的「搜索区间」是 [left, right) 左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left, mid) 或 [mid + 1, right)。

4、为什么该算法能够搜索左侧边界？

答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：

        if nums[mid] == target {
            right = mid
        }

可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小「搜索区间」的上界 right，在区间 [left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。

5、为什么返回 left 而不是 right？

答：都是一样的，因为 for终止的条件是 left == right。

6、能不能想办法把 right 变成 len(nums) - 1，也就是继续使用两边都闭的「搜索区间」？这样就可以和第一种二分搜索在某种程度上统一起来了。

答：当然可以，只要你明白了「搜索区间」这个概念，就能有效避免漏掉元素，随便你怎么改都行。下面我们严格根据逻辑来修改：

因为你非要让搜索区间两端都闭，所以 right 应该初始化为 len(nums) - 1，for 的终止条件应该是 left == right + 1，也就是其中应该用 <=：

func LeftBound2(nums []int, target int) int {
    left := 0
    right := len(nums) - 1 //注意

    for left <= right { //注意
        mid := left + (right-left)/2
                //if else
    }
    return -1
}        

因为搜索区间是两端都闭的，且现在是搜索左侧边界，所以 left 和 right 的更新逻辑如下：

        if nums[mid] == target {
            //收缩右侧边界
            right = mid - 1
        } else if nums[mid] < target {
            //搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1 //注意
        } else if nums[mid] > target {
            //搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1
        }

由于 for的退出条件是 left == right + 1，所以当 target 比 nums 中所有元素都大时，会存在以下情况使得索引越界：

    if left >= len(nums) || nums[left] != target {
        return -1
    }

至此，整个算法就写完了，完整代码如下：

func LeftBound2(nums []int, target int) int {
    left := 0
    right := len(nums) - 1 //注意

    for left <= right { //注意
        mid := left + (right-left)/2
        if nums[mid] == target {
            //收缩右侧边界
            right = mid - 1
        } else if nums[mid] < target {
            //搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1 //注意
        } else if nums[mid] > target {
            //搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1
        }
    }
    if left >= len(nums) || nums[left] != target {
        return -1
    }
    return left
}

这样就和第一种二分搜索算法统一了，都是两端都闭的「搜索区间」，而且最后返回的也是 left 变量的值。只要把住二分搜索的逻辑，两种形式大家看自己喜欢哪种记哪种吧。

三、寻找右侧边界的二分查找

类似寻找左侧边界的算法，这里也会提供两种写法，还是先写常见的左闭右开的写法，只有两处和搜索左侧边界不同，已标注：

func RightBound(nums []int, target int) int {
    left := 0
    right := len(nums) - 1 //注意

    for left <= right { //注意
        mid := left + (right-left)/2
        if nums[mid] == target {
            //收缩左侧边界
            left = mid + 1
        } else if nums[mid] < target {
            //搜索区间变为 [mid+1, right]
            left = mid + 1 //注意
        } else if nums[mid] > target {
            //搜索区间变为 [left, mid-1]
            right = mid - 1
        }
    }

if right < 0 || nums[right] != target {
   return -1
}
return right

return right }

1、为什么这个算法能够找到右侧边界？

答：类似地，关键点还是这里：

        if nums[mid] == target {
            //收缩左侧边界
            left = mid + 1
        }

当 nums[mid] == target 时，不要立即返回，而是增大「搜索区间」的下界 left，使得区间不断向右收缩，达到锁定右侧边界的目的。

当 target 比所有元素都小时，right 会被减到 -1，所以需要在最后防止越界：