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  • HDU1087上升子序列的最大和

       解法一

          此题是一个简单的动态规划问题,用dp[i]记做最后一步经过第i个数所得到的最大sum值,则结果=max(dp[i]),i=1,...n.考虑dp[i]的前一步会经过那里?假设dp[i]的前一步经过第j个数,则子问题dp[j]满足最优子结构。dp[i]=a[i]+max(dp[j]) .(a[j]<a[i]);

    /*---dp[i]表示最后一步经过第i个数
    ----转移方程dp[i]=a[i]+max(dp[j])(a[j]<a[i],j<i)
    */
    #define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int MAXN = 1000 + 10;
    LL dp[MAXN];
    int a[MAXN];
    int main(){
    	int n, i, j;
    	while (scanf("%d", &n) && n){
    		for (i = 1; i <=n; i++)
    			scanf("%d", &a[i]);
    		memset(dp,0, sizeof(dp));
    		dp[1] = a[1];
    		LL ans =dp[1];
    		for (i = 2; i <= n; i++){
    			dp[i] = a[i];
    			for (j = 1; j < i; j++){
    				if (a[j]<a[i])
    				  dp[i] = max(dp[i], dp[j]+a[i]);
    			}
    			ans = max(ans, dp[i]);
    		}
    		printf("%I64d
    ", ans);
    	}
    	return 0;
    }
    

      解法二  转化为GAD模型

            考虑若i<j,同时选择a[i]和a[j]的合法条件是a[i]<a[j].于是在数组中寻找满足i<j且a[i]<a[j],将i向j连接一条有向边。用dp[i]表示从i出发可以得到的最大和,则有:

    dp[i]=a[i]+max(dp[j]) .j是i的邻接点。采用记忆化搜索来求解。

      

    /*---DAG模型求解
    ----若序列中a[i]<a[j](i<j)则从i到j连接一条有向边
    */
    #define _CRT_SECURE_NO_DEPRECATE
    #include<iostream>
    #include<vector>
    #include<string.h>
    #include<algorithm>
    using namespace std;
    typedef long long LL;
    const int MAXN = 1000 + 10;
    LL dp[MAXN];
    int a[MAXN];
    vector<int>vec[MAXN];
    //记忆化搜索
    LL dfs(int i){
    	LL &ans = dp[i];
    	if (ans >= 0)
    		return ans;
    	ans = 0;
    	for (int j = 0; j < (int)vec[i].size(); j++){
    		ans = max(ans,dfs(vec[i][j]));
    	}
    	return ans=ans + a[i];
    }
    int main(){
    	int n, i,j;
    	while (scanf("%d", &n) && n){
    		for (i = 0; i < n; i++)
    			scanf("%d", &a[i]);
    		for (i = 0; i < n; i++){
    			vec[i].clear();
    			for (j = i + 1; j < n; j++){
    				if (a[j]>a[i])
    					vec[i].push_back(j);  //i到j有向边
    			}
    		}
    		LL ans = 0;
    		memset(dp, -1, sizeof(dp));
    		for (i = 0; i < n; i++){
    			if (dp[i]<0)
    				dp[i] = dfs(i);
    			ans = max(ans, dp[i]);
    		}
    		printf("%I64d
    ", ans);
    	}
    	return 0;
    }
    

      

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