取模算术

取模公式：

          (a+b) mod n=((a mod n)+(b mod n))%n

          (a-b) mod n=(a mod n -b mod n +n)mod n

           a*b mod n =(a mod n)*(b mod n)mod n

1大整数取模：输入n，m求n%m，其中n<=10^1000000,m<=10^9

//大整数取模
int big_number_mod(char *str, int m){
	int len = strlen(str), res = 0;
	for (int i = 0; i < len; i++){
		res = (res * 10 + str[i] - '0') % m;
	}
	return res;
}

2.幂取模 aⁿ mod m的值,a,n,m<=10^9。采用分治算法可以在O(longn)算出来,例如a²⁹=(a¹⁴)²a，而a¹⁴=(a⁷)²,a⁷=(a³)²a,a³=a²a。

//幂取模:计算a^n mod m
//O(longn)
int pow_mod(int a, int n, int m){
	if (n == 0)return 1;
	int x = pow_mod(a, n / 2, m);
	LL ans = (LL)x*x %m;
	if (n & 1)ans = ans*a%m;
	return (int)ans;

3.快速幂取模运算：计算aⁿ mod m 。采用快速幂将n分解为二进制。例如n=11，则10=1011₂,于是a¹¹=a¹⁺²⁺⁸,可以依次计算a,a²,a⁴,a⁸,然后计算出a¹¹

//快速幂取模:计算a^n mod m
//O(longn)
int quick_pow_mod(int a, int n, int m){
	if (n == 0)return 1;
	int res = 1;
	while (n > 0){
		if (n & 1)
			res=res*a%m;
		a = (a%m)*(a%m)%m; //防止溢出
		n >>= 1;
	}
	return res;
}