玄学算法与精彩DS Memairos Again

本系列恢复更新了。它将重新阐释之前学过的算法。

Fast Fourier Transform

快速傅里叶变换在算法竞赛中特指一种(O(nlog n))转换系数表示法和点值表示法的算法。

单位根

记(omega_n)为(n)次单位根，即(omega_n^n=1)。
单位根有一个良好性质(omega_n^{k+frac n2}=-omega_n^k)，可以通过复数的几何意义来证明。

离散傅里叶变换

令(A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+cdots+a_{n-1}x^{n-1})。
设((b_0,b_1,b_2,cdots,b_{n-1}))是多项式(A(x))的离散傅里叶变换，即将((omega_n^0,omega_n^1,omega_n^2,cdots,omega_n^{n-1}))代入(A(x))得到的点值表示。
再令(B(x)=b_0+b_1x+b_2x^2+cdots+b_{n-1}x^{n-1})，将((omega_n^0,omega_n^{-1},omega_n^{-2},cdots,omega_n^{-(n-1)}))代入：

[B(omega_n^{-k})=sum_{i=0}^{n-1}b_i(omega_n^{-k})^i\=sum_{i=0}^{n-1}sum_{j=0}^{n-1}a_j(omega_n^i)^j(omega_n^{-k})^i\=sum_{j=0}^{n-1}a_jsum_{i=0}^{n-1}(omega_n^{j-k})^i ]

当(j=k)时，(omega_n^{j-k}=1)；
当(j eq k)时，(displaystylesum_{i=0}^{n-1}(omega_n^{j-k})^i=frac{(omega_n^{j-k})^n-1}{omega_n^{j-k}-1}=0)。
故(B(omega_n^k)=na_k)，将每一项除以(n)就可以得到(A(x))。该过程即为离散傅里叶逆变换。
离散傅里叶变换最常用于多项式乘法中。由于两个点值表示的多项式相乘是(O(n))的，那么我们只需要对两个多项式都进行离散傅立叶变换后相乘，再逆变换回来，就可以得到相乘后的系数表示的多项式。
这启发我们用更优秀的复杂度进行傅里叶变换的过程。

分治

可以尝试使用分而治之的方法。
假定(n)为偶数，将(A(x))按下标奇偶分成两部分，即令(A_1(x)=a_0+a_2x+a_4x^2+cdots+a_{n-2}x^{frac n2-1},A_2(x)=a_1+a_3x+a_5x^2+cdots+a_{n-1}x^{frac n2-1})，则

[A(x)=A_1(x^2)+xA_2(x^2) ]

蝴蝶操作

名字起的很美。

MTT

Blue-Steins

Number Theory Transform