本栏目来源于对Coursera 在线课程 NLP（by Michael Collins）的理解。课程链接为：https://class.coursera.org/nlangp-001
1. 语言模型定义：
Model Representation：
- V：集合V包含语料中所有单词，例如：V={the,dog,laughs,saw,barks,cat,...}；
- x1x2...xn：x1x2...xn为句子序列，其中n≥1，xn为句子的STOP符（结束标志）；
- p(x1,x2,...,xn)：集合V的一种可能的分布，其中对任意<x1x2...xn>,p(x1,x2,...,xn)≥0，且 ∑<x1x2...xn>p(x1,x2,...,xn)=1；
例如：假设c(x1x2...xn)是x1x2...xn在语料中出现的频次，N是语料句子总数，定义 p(x1,x2,...,xn)=c(x1x2...xn)/N 但是该模型效果很差由于其无法预测语料中未出现的新单词。
2. 马尔科夫模型（Markov Model）
2.1 定长序列的马尔科夫模型
假设单词序列x1x2...xn为定长的n,对于联合概率P(X1=x1,X2=x2,...Xn=xn),可见x1x2...xn有|V|n种组合。
- 在一阶马尔科夫过程中，假设第i个单词出现与否取决于其前面的单词xi-1：
因此序列x1x2...xn出现的概率为：
- 在二阶马尔科夫过程中（trigram），假设每个单词的出现取决于其前面的两个单词：
因此序列x1x2...xn出现的概率为：
PS：定义x0=x-1=*，即句子序列开始符。
2.1 变长序列的马尔科夫模型
假设单词序列x1x2...xn为可变长度的句子序列，即n为随机变量，此时假设xn为STOP符唯一的表示句子的结尾。继续使用前面的假设，对于二阶马尔科夫过程：
其中xn=STOP
计算流程为：
- (1)初始化i=1，x0=x-1=*；
- (2)在分布中计算xi：P(Xi=xi|Xi-2=xi-2,Xi-1=xi-1);
- (3)若xi=STOP,返回序列x1x2...xi。否则令i=i+1，重复步骤（2）
3. Trigram语言模型
假设P(Xi=xi | Xi-2=xi-2,Xi-1=xi-1) = q(xi | xi-2,xi-1)
其中q(w | u,v)对任意(u,v,w)是模型的参数，w属于集合{V,STOP}，u,v属于集合{V,*},x0 = x-1 =*,模型形式如下：
其中q(w|u,v)≥0 且
例如：句子序列 the dog barks STOP
p(the dog barks STOP)=q(the|*,*)×q(dog|*,the)×q(barks|the,dog)×q(STOP|dog,barks)
4. 极大似然估计（Maximum-Likelihood Estimates）
定义c(u,v,w)为trigram(u,v,w)在训练语料中出现的频次，例如c(the,dog,barks)即 “the dog barks”序列在语料中出现的次数，同理c(u,v)为bigram(u,v)在语料中出现的频次，对任意u,v,w，定义：
例如：q(the,dog,barks)估计为：
由于词数量庞大，该方法的问题有：
- 许多词项会出现q(w|u,v)=0由于c(u,v,w)=0，而将未在训练语料中出现的序列组合计算为0是不合理的；
- 当c(u,v)为0时，该定义式无解；
5. 语言模型评估：复杂度（Perplexity）
假设测试集为x(1),x(2),...x(n).其中x(i)为序列,x1(i)x2(i)...xni(i)，ni为第i个测试句子的长度并以STOP作为结束符。一种模型的评价标准为计算整个测试集句子出现的概率，即：
PS：概率值越大，模型对新词的预测效果越好。
- M：测试语料集词的总数
- ni：第i个测试句子的长度
平均log概率为：
模型复杂度定义为 2-l ，其中 
PS:复杂度越小，模型对于预测新数据的效果越好。
例如：对于语言模型 q(w|u,v)=1/N，这时该模型的复杂度为N，可见是很差的模型。
6 Trigram模型的平滑估计
借助bigram和unigram的结果来平滑trigram模型。可以使用linear interpolation（线性插值）和discounting methods。
6.1 Linear Interpolation
定义trigram,bigram和unigram的极大似然估计为：
其中c(w)是词w在训练语料中出现的次数，c()是训练语料的总词数。trigram,bigram和unigram有各自的优缺点。unigram不会出现算式分子或分母为0的情况，但是却忽略了句子上下文的关系；相反，trigram充分利用了文本关系但很多算式结果为0.
Linear Interpolation应用如下定义来平滑模型：
其中λ1≥0,λ2≥0,λ3≥0是模型的另外参数，且λ1+λ2+λ3=1。为trigram,bigram和unigram的权重参数。
- 最优λ计算方法：我们从训练语料和测试语料中分离出新的集合称为development data，定义为c'(u,v,w)为development data集合中trigram(u,v,w)出现的频次。development data集合的log似然估计为：
目标函数：
在实际应用中，当c(u,v)很大时，可以增大λ1（由于大的c(u,v)说明trigram更加有效）；当c(u,v)=0时，令λ1=0（由于此时qML(w|u,v)没有定义）；同理若c(u,v),c(v)都为0，我们就需要λ1=λ2=0（由于trigram,bigram都无定义）.
- 还有一种简单计算λ的方法：
其中γ>0，该方法相对粗糙，可能并非最优，但是很简单。
6.2 Discounting Methods
定义discounted counts：
其中任意bigram c(v,w)>0，β在0和1之间；
因此定义：
例如：对如下数据，词"the"在语料中共出现了48次，下表列出了所有的bigram。另外我们利用discounted count c*(x)=c(x)-β。且β=0.5 最后计算c*(x)/c(the).该定义造成了一些概率丢失，定义如下：
本例中，
，
完整定义如下： A(v)={w:c(v,w)>0}且B(v)={w:c(v,w)=0}
本例中，A(the)={dog,woman,man,park,job,telescope,manual,afternoon,country,street},B(the)是此表中其余集合。
因此，若c(v,w)>0,返回c*(v,w)/c(v);否则，将α(v)成比例地分给unigram来评估qML(w)。
- 该方法也可以用来计算trigram模型，对任意bigram(u,v)定义：
A(u,v)={w:c(u,v,w)>0}且B(u,v)={w:c(u,v,w)=0}
- 定义trigram的discounted count：
故trigram模型为：
其中：
- 求解最优β：通常使用在development data上计算似然概率的方法来求解最优β。定义c'(u,v,w)为development data中trigram(u,v,w)出现的频次，log似然概率为：
通常我们为β设置可能的数值集合（例如{0.1,0.2,0.3,...,0.9}）分别计算其log似然概率，从中选出令log似然概率最大的β即可。
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