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我从马里兰州生物流调查中提取了一些数据，以进行多元回归分析。数据因变量是每75米长的水流中长鼻鱼（Rhinichthys cataractae）的数量。自变量是河流流失的面积（英亩）；氧（毫克/升）；水流段的最大深度（以厘米为单位）；硝酸盐浓度（毫克/升）；硫酸盐浓度（毫克/升）；以及采样日期的水温（以摄氏度为单位）。
如何做多元回归
多重相关
数据集包含多个数字变量时，最好查看这些变量之间的相关性。原因之一是，可以轻松查看哪些自变量与该因变量相关。第二个原因是，如果要构建多元回归模型，则添加高度相关的自变量不太可能对模型有很大的改进。
最后，值得看一下数字变量的分布。如果分布差异很大，则使用Kendall或Spearman相关性可能更合适。同样，如果自变量与因变量的分布不同，则可能需要对自变量进行转换。
Data = read.table(textConnection(Input),header=TRUE)
library(dplyr)
Data.num =
select(Data,
Longnose,
Acerage,
DO2,
Maxdepth,
NO3,
SO4,
Temp)
library(FSA)
headtail(Data.num)
Longnose Acerage DO2 Maxdepth NO3 SO4 Temp
1 13 2528 9.6 80 2.28 16.75 15.3
2 12 3333 8.5 83 5.34 7.74 19.4
3 54 19611 8.3 96 0.99 10.92 19.5
66 20 4106 10.0 96 2.62 5.45 15.4
67 38 10274 9.3 90 5.45 24.76 15.0
68 19 510 6.7 82 5.25 14.19 26.5
library(psych)
corr.test(Data.num,
use = "pairwise",
method="pearson",
adjust="none", # Can adjust p-values; see ?p.adjust for options
alpha=.05)
Correlation matrix
Longnose Acerage DO2 Maxdepth NO3 SO4 Temp
Longnose 1.00 0.35 0.14 0.30 0.31 -0.02 0.14
Acerage 0.35 1.00 -0.02 0.26 -0.10 0.05 0.00
DO2 0.14 -0.02 1.00 -0.06 0.27 -0.07 -0.32
Maxdepth 0.30 0.26 -0.06 1.00 0.04 -0.05 0.00
NO3 0.31 -0.10 0.27 0.04 1.00 -0.09 0.00
SO4 -0.02 0.05 -0.07 -0.05 -0.09 1.00 0.08
Temp 0.14 0.00 -0.32 0.00 0.00 0.08 1.00
Sample Size
Probability values (Entries above the diagonal are adjusted for multiple tests.)
Longnose Acerage DO2 Maxdepth NO3 SO4 Temp
Longnose 0.00 0.00 0.27 0.01 0.01 0.89 0.26
Acerage 0.00 0.00 0.86 0.03 0.42 0.69 0.98
DO2 0.27 0.86 0.00 0.64 0.02 0.56 0.01
Maxdepth 0.01 0.03 0.64 0.00 0.77 0.69 0.97
NO3 0.01 0.42 0.02 0.77 0.00 0.48 0.99
SO4 0.89 0.69 0.56 0.69 0.48 0.00 0.52
Temp 0.26 0.98 0.01 0.97 0.99 0.52 0.00
逐步回归选择模型
使用AIC（赤池信息标准）作为选择标准。可以使用选项k = log（n）代替BIC。
逐步程序
Longnose ~ 1
Df Sum of Sq RSS AIC
+ Acerage 1 17989.6 131841 518.75
+ NO3 1 14327.5 135503 520.61
+ Maxdepth 1 13936.1 135894 520.81
<none> 149831 525.45
+ Temp 1 2931.0 146899 526.10
+ DO2 1 2777.7 147053 526.17
+ SO4 1 45.3 149785 527.43
.
.
< snip... more steps >
.
.
Longnose ~ Acerage + NO3 + Maxdepth
Df Sum of Sq RSS AIC
<none> 107904 509.13
+ Temp 1 2948.0 104956 509.24
+ DO2 1 669.6 107234 510.70
- Maxdepth 1 6058.4 113962 510.84
+ SO4 1 5.9 107898 511.12
- Acerage 1 14652.0 122556 515.78
- NO3 1 16489.3 124393 516.80
Call:
lm(formula = Longnose ~ Acerage + NO3 + Maxdepth, data = Data)
Coefficients:
(Intercept) Acerage NO3 Maxdepth
-23.829067 0.001988 8.673044 0.336605 定义最终模型
summary(model.final) # Show coefficients, R-squared, and overall p-value
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -2.383e+01 1.527e+01 -1.560 0.12367
Acerage 1.988e-03 6.742e-04 2.948 0.00446 **
Maxdepth 3.366e-01 1.776e-01 1.896 0.06253 .
NO3 8.673e+00 2.773e+00 3.127 0.00265 **
Multiple R-squared: 0.2798, Adjusted R-squared: 0.2461
F-statistic: 8.289 on 3 and 64 DF, p-value: 9.717e-05方差分析
Anova Table (Type II tests)
Response: Longnose
Sum Sq Df F value Pr(>F)
Acerage 14652 1 8.6904 0.004461 **
Maxdepth 6058 1 3.5933 0.062529 .
NO3 16489 1 9.7802 0.002654 **
Residuals 107904 64预测值图
检查模型的假设
线性模型中残差的直方图。这些残差的分布应近似正态。
残差与预测值的关系图。残差应无偏且均等。
模型拟合标准
模型拟合标准可用于确定最合适的模型。使用AIC或可选的BIC。AICc是对AIC的一种调整，它更适合于观测值相对较少的数据集。AIC，AICc和BIC越小越好。
在下面的例子中，我们只讨论了显著相关的种植面积，MAXDEPTH和NO3 。
$Models
Formula
1 "Longnose ~ Acerage"
2 "Longnose ~ Maxdepth"
3 "Longnose ~ NO3"
4 "Longnose ~ Acerage + Maxdepth"
5 "Longnose ~ Acerage + NO3"
6 "Longnose ~ Maxdepth + NO3"
7 "Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3"
8 "Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + DO2"
9 "Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + SO4"
10 "Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + Temp"
$Fit.criteria
Rank Df.res AIC AICc BIC R.squared Adj.R.sq p.value Shapiro.W Shapiro.p
1 2 66 713.7 714.1 720.4 0.12010 0.10670 3.796e-03 0.7278 6.460e-10
2 2 66 715.8 716.2 722.4 0.09301 0.07927 1.144e-02 0.7923 2.115e-08
3 2 66 715.6 716.0 722.2 0.09562 0.08192 1.029e-02 0.7361 9.803e-10
4 3 65 711.8 712.4 720.6 0.16980 0.14420 2.365e-03 0.7934 2.250e-08
5 3 65 705.8 706.5 714.7 0.23940 0.21600 1.373e-04 0.7505 2.055e-09
6 3 65 710.8 711.4 719.6 0.18200 0.15690 1.458e-03 0.8149 8.405e-08
7 4 64 704.1 705.1 715.2 0.27980 0.24610 9.717e-05 0.8108 6.511e-08
8 5 63 705.7 707.1 719.0 0.28430 0.23890 2.643e-04 0.8041 4.283e-08
9 5 63 706.1 707.5 719.4 0.27990 0.23410 3.166e-04 0.8104 6.345e-08
10 5 63 704.2 705.6 717.5 0.29950 0.25500 1.409e-04 0.8225 1.371e-07
几个模型的AICc（修改后的Akaike信息标准）图。模型7最小化了AICc，因此被选为该模型中的最佳模型。
将模型与似然比检验进行比较
将模型与 平方和检验或似然比检验进行比较，以查看是否有其他项显着减少平方误差和 。
Analysis of Variance Table
Model 1: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3
Model 2: Longnose ~ Acerage + Maxdepth
Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
1 64 107904
2 65 124393 -1 -16489 9.7802 0.002654 **
Likelihood ratio test
Model 1: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3
Model 2: Longnose ~ Acerage + Maxdepth
#Df LogLik Df Chisq Pr(>Chisq)
1 5 -347.05
2 4 -351.89 -1 9.6701 0.001873 **
Model 1: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + DO2
Model 2: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + SO4
Model 3: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + Temp
Model A: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3
DfO RSSO DfA RSSA Df SS F Pr(>F)
1vA 63 107234.38 64 107903.97 -1 -669.59 0.3934 0.5328
2vA 63 107898.06 64 107903.97 -1 -5.91 0.0035 0.9533
3vA 63 104955.97 64 107903.97 -1 -2948.00 1.7695 0.1882
Model 1: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + DO2
Model 2: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + SO4
Model 3: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3 + Temp
Model A: Longnose ~ Acerage + Maxdepth + NO3
DfO logLikO DfA logLikA Df logLik Chisq Pr(>Chisq)
1vA 63 -346.83881 64 -347.05045 -1 0.21164 0.4233 0.5153
2vA 63 -347.04859 64 -347.05045 -1 0.00186 0.0037 0.9513
3vA 63 -346.10863 64 -347.05045 -1 0.94182 1.8836 0.1699