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预测GDP增长
我们复制了Ghysels（2013）中提供的示例。我们进行了MIDAS回归分析，以预测季度GDP增长以及每月非农就业人数的增长。预测公式如下
其中yt是按季度季节性调整后的实际美国GDP的对数增长，x3t是月度总就业非农业工资的对数增长。
首先，我们加载数据并执行必要的转换。
R> y <- window(USqgdp, end = c(2011, 2))
R> x <- window(USpayems, end = c(2011, 7))
R> yg <- diff(log(y)) * 100
R> xg <- diff(log(x)) * 100
最后两行用于均衡样本大小，样本大小在原始数据中有所不同。我们只需在数据的开头和结尾添加其他NA值即可。数据的图形表示如图3所示。要指定midas_r函数的模型，我们以下等效形式重写它：
就像在Ghysels（2013）中一样，我们将估算样本限制在1985年第一季度到2009年第一季度之间。我们使用Beta多项式，非零Beta和U-MIDAS权重规格来评估模型。
R> coef(beta0)
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3
0.8315274 0.1058910 2.5887103 1.0201202 13.6867809
R> coef(betan)
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx4
0.93778705 0.06748141 2.26970646 0.98659174 1.49616336 -0.09184983
(Intercept) yy xx1 xx2 xx3 xx4
0.92989757 0.08358393 2.00047205 0.88134597 0.42964662 -0.17596814
xx5 xx6 xx7 xx8 xx9
0.28351010 1.16285271 -0.53081967 -0.73391876 -1.18732001我们可以使用2009年第2季度至2011年第2季度包含9个季度的样本数据评估这三个模型的预测性能。
R> fulldata <- list(xx = window(nx, start = c(1985, 1), end = c(2011, 6)),
+ yy = window(ny, start = c(1985, 1), end = c(2011, 2)))
R> insample <- 1:length(yy)
R> outsample <- (1:length(fulldata$yy))[-insample]
R> avgf <- average_forecast(list(beta0, betan, um), data = fulldata,
+ insample = insample, outsample = outsample)
R> sqrt(avgf$accuracy$individual$MSE.out.of.sample)
[1] 0.5361953 0.4766972 0.4457144
我们看到，MIDAS回归模型提供了最佳的样本外RMSE。
预测实际波动
作为另一个演示，我们使用midasr来预测每日实现的波动率。Corsi（2009）提出了一个简单的预测每日实际波动率的模型。实现波动率的异质自回归模型（HAR-RV）定义为
我们假设一周有5天，一个月有4周。该模型是MIDAS回归的特例：
相应的R代码如下
为了进行经验论证，我们使用了由Heber，Lunde，Shephard和Sheppard（2009）提供的关于股票指数的已实现波动数据。我们基于5分钟的回报数据估算S＆P500指数的年度实现波动率模型。
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.83041 0.36437 2.279 0.022726 *
rv1 0.34066 0.04463 7.633 2.95e-14 ***
rv2 0.41135 0.06932 5.934 3.25e-09 ***
rv3 0.19317 0.05081 3.802 0.000146 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.563 on 3435 degrees of freedom为了进行比较，我们还使用归一化指数Almon权重来估计模型
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.837660 0.377536 2.219 0.0266 *
rv1 0.944719 0.027748 34.046 < 2e-16 ***
rv2 -0.768296 0.096120 -7.993 1.78e-15 ***
rv3 0.029084 0.005604 5.190 2.23e-07 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.535 on 3435 degrees of freedom我们可以使用异方差性和自相关鲁棒权重规范测试hAhr_test来测试这些限制中哪些与数据兼容。
hAh restriction test (robust version)
data:
hAhr = 28.074, df = 17, p-value = 0.04408
hAh restriction test (robust version)
data:
hAhr = 19.271, df = 17, p-value = 0.3132
我们可以看到，与MIDAS回归模型中的HAR-RV隐含约束有关的零假设在0.05的显着性水平上被拒绝，而指数Almon滞后约束足够的零假设则不能被拒绝。
图说明了拟合的MIDAS回归系数和U-MIDAS回归系数及其相应的95％置信区间。对于指数Almon滞后指标，我们可以通过AIC或BIC选择滞后次数。
在这里，我们使用了两种优化方法来提高收敛性。将测试函数应用于每个候选模型。函数hAhr_test需要大量的计算时间，尤其是对于滞后数量较大的模型，因此我们仅在第二步进行计算，并且限制了滞后次数的选择。AIC选择模型有9个滞后：
Selected model with AIC = 21551.97
Based on restricted MIDAS regression model
The p-value for the null hypothesis of the test hAhr_test is 0.5531733
Parameters:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.96102 0.36944 2.601 0.00933 **
rv1 0.93707 0.02729 34.337 < 2e-16 ***
rv2 -1.19233 0.19288 -6.182 7.08e-10 ***
rv3 0.09657 0.02190 4.411 1.06e-05 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 5.524 on 3440 degrees of freedomhAh_test的HAC再次不拒绝指数Almon滞后规范的原假设。我们可以使用具有1000个观测值窗口的滚动预测来研究两个模型的预测性能。为了进行比较，我们还计算了无限制AR（20）模型的预测。
Model MSE.out.of.sample MAPE.out.of.sample
1 rv ~ (rv, 1:20, 1) 10.82516 26.60201
2 rv ~ (rv, 1:20, 1, harstep) 10.45842 25.93013
3 rv ~ (rv, 1:9, 1, nealmon) 10.34797 25.90268
MASE.out.of.sample MSE.in.sample MAPE.in.sample MASE.in.sample
1 0.8199566 28.61602 21.56704 0.8333858
2 0.8019687 29.24989 21.59220 0.8367377
3 0.7945121 29.08284 21.81484 0.8401646
我们看到指数Almon滞后模型略胜于HAR-RV模型，并且两个模型均胜过AR（20）模型。
参考文献
Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2010）。“具有混合采样频率的回归模型。” 计量经济学杂志，158，246–261。doi：10.1016 / j.jeconom.2010.01。004。
Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2011）。“混合频率数据的预测。” 在MP Clements中，DF Hendry（编），《牛津经济预测手册》，第225–245页。