一、基本概念:
1、 排序:按照一定的关键字,将一个序列排列成想要得到的一个新的序列。
2、 内部排序和外部排序:整个排序过程完全在内存中进行,叫做内部排序。数据量较大需要借助外部存储设备才能完成,叫做外部排序。
3、 主关键字和次关键字:
4、 排序的稳定性:对于相同的元素来说,在排序之前和之后的顺序是一样的,那么这种排序就是稳定的排序,如果顺序发生了变化,那么就是不稳定排序。
一、插入排序 1)直接插入排序 2)折半插入排序 3)希尔排序
四、归并排序
五、基数排序
(一) 思想:在一个已经排好序的序列中,将未被排进的元素按照原先的规定插入到指定位置。
(二) 分类:
① 思想:最基本的插入排序,将第i个插入到前i-1个中的适当位置。
② 时间复杂度:T(n) = O(n²)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(1)。
④ 稳定性:稳定排序。循环条件while(r[0].key < r[j].key)保证的。
时间复杂度:平均情况—O(n2) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(1) 稳定性:稳定
- void InsSort(RecordType r[], int length)
- {
- for(i = 2; I <= length; i++)
- {
- r[0] = r[i];
- j = i – 1;
- while(r[0].key < r[j].key) //每次先和前一个元素比,因为前面所有的元素都已有序,如果比前一个元素大,则比前面所有元素都大,直接逃过该轮
- {
- r[j + 1] = r[j]; //如果比前一个元素小,则把前一个元素移到当前位置
- j = j – 1; //当前位置减一,继续和前一个元素比
- }
- r[j+1] = r[0];
- }
- }
2)折半插入排序 返回目录
① 思想:因为是已经确定了前部分是有序序列,所以在查找插入位置的时候可以用折半查找的方法进行查找,提高效率。
② 时间复杂度:比较时的时间减为O(n㏒n),但是移动元素的时间耗费未变,所以总是得时间复杂度还是O(n²)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(1)。
④ 稳定性:稳定排序。
时间复杂度:平均情况—O(n2) 稳定性:稳定
- void BinSort(RecordType r[], int length)
- {
- for(i = 2; i <= length; i++)
- {
- x = r[i];
- low = 1; high = i – 1;
- while(low <= high)
- {
- mid = (low + high) / 2;
- if(x.key < r[mid].key)
- high = mid – 1;
- else
- low = mid – 1;
- }
- for(j = i – 1; j >= low; --j)
- r[j + 1] = r[j];
- r[low] = x;
- }
- }
① 思想:又称缩小增量排序法。把待排序序列分成若干较小的子序列,然后逐个使用直接插入排序法排序,最后再对一个较为有序的序列进行一次排序,主要是为了减少移动的次数,提高效率。原理应该就是从无序到渐渐有序,要比直接从无序到有序移动的次数会少一些。
② 时间复杂度:O(n的1.5次方)
③ 空间复杂度:O(1)
④ 稳定性:不稳定排序。{2,4,1,2},2和1一组4和2一组,进行希尔排序,第一个2和最后一个2会发生位置上的变化。
时间复杂度:理想情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(n2) 稳定性:不稳定
- void ShellInsert(RecordType r[], int length, int delta)
- {
- for(i = 1 + delta; i <= length; i++)/*1+delta为第一个子序列的第二个元素的下表*/
- if(r[i].key < r[1 - delta].key)
- {
- r[0] = r[i];
- for(j = i – delta; j > 0 && r[0].key < r[j].key; j -=delta)
- r[j + delta] = r[j];
- r[j + delta] = r[0];
- }
- }
- void ShellSort(RecordType r[], int length, int delta[], int n)
- {
- for(i = 0; i <= n – 1; ++i)
- ShellInsert(r, length, delta[i]);
- }
(一) 思想:通过交换逆序元素进行排序的方法。
(二) 分类:
① 思想:反复扫描待排序序列,在扫描的过程中顺次比较相邻的两个元素的大小,若逆序就交换位置。第一趟,从第一个数据开始,比较相邻的两个数据,(以升序为例)如果大就交换,得到一个最大数据在末尾;然后进行第二趟,只扫描前n-1个元素,得到次大的放在倒数第二位。以此类推,最后得到升序序列。如果在扫描过程中,发现没有交换,说明已经排好序列,直接终止扫描。所以最多进行n-1趟扫描。
② 时间复杂度:T(n) = O(n²)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(1)。
④ 稳定性:稳定排序。
时间复杂度:平均情况—O(n2) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(1) 稳定性:稳定
- void BubbleSort(RecordType r[], int length)
- {
- n = length;
- change = TRUE;
- for(i = 1; i <= n – 1 && change; i++)
- {
- change = FALSE;
- for(j = 1; j <= n – I; ++j)
- if(r[j].key > r[j + 1].key)
- {
- x = r[j];
- r[j] = r[j + 1];
- r[j + 1] = x;
- change = TRUE;
- }
- }
- }
① 思想:冒泡排序一次只能消除一个逆序,为了能一次消除多个逆序,采用快速排序。以一个关键字为轴,从左从右依次与其进行对比,然后交换,第一趟结束后,可以把序列分为两个子序列,然后再分段进行快速排序,达到高效。
② 时间复杂度:平均T(n) = O(n㏒n),最坏O(n²)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(㏒n)。
④ 稳定性:不稳定排序。{3, 2, 2}
时间复杂度:平均情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(log2n) 稳定性:不稳定
- void QKSort(RecordType r[], int low, int high)
- {
- int pos;
- if(low < high)
- {
- pos = QKPass(r, low, high);
- QKSort(r, low, pos - 1);
- QKSort(r, pos + 1, high);
- }
- }
- int QKPass(RecordType r[], int left, int right)
- {
- RecordType x;
- int low, high;
- x = r[left];
- low = left;
- high = right;
- while(low < high)
- {
- while(low < high && r[high].key >= x.key)
- high--;
- if(low < high)
- {
- r[low] = r[high];
- low++;
- }
- while(low < high && r[low].key < x.key)
- low++;
- if(low < high)
- {
- r[high] = r[low];
- high--;
- }
- }
- r[low] = x;
- return low;
- }
(一) 思想:每一趟在n – i + 1 ( i = 1,2, … , n - 1)个记录中选取关键字最小的记录作为有序序列中的第i个记录。
(二) 分类:
① 思想:第一趟时,从第一个记录开始,通过n – 1次关键字的比较,从n个记录中选出关键字最小的记录,并和第一个记录进行交换。第二趟从第二个记录开始,选择最小的和第二个记录交换。以此类推,直至全部排序完毕。
② 时间复杂度:T(n) = O(n²)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(1)。
④ 稳定性:不稳定排序,{3, 3, 2}。
时间复杂度:平均情况—O(n2) 最坏情况—O(n2) 辅助空间:O(1) 稳定性:不稳定
- void SelectSort(RecordType r[], int length)
- {
- n = length;
- for(i = 1; i <= n - 1; i++)
- {
- k = i;
- for(j = i + 1; j <= n; i++)
- if(r[j].key < r[k],key)
- k = j;
- if(k != i)
- {
- x = r[i];
- r[i] = r[k];
- r[k] = x;
- }
- }
- }
① 思想:把待排序记录的关键字存放在数组r[1…n]中,将r看成是一刻完全二叉树的顺序表示,每个节点表示一个记录,第一个记录r[1]作为二叉树的根,一下个记录r[2…n]依次逐层从左到右顺序排列,任意节点r[i]的左孩子是r[2i],右孩子是r[2i+1],双亲是r[i/2向下取整]。然后对这棵完全二叉树进行调整建堆。
② 时间复杂度:T(n) = O(n㏒n)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(1)。
④ 稳定性:不稳定排序。{5, 5, 3}
时间复杂度:平均情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(nlog2n) 辅助空间:O(1) 稳定性:不稳定
(1) 调整堆:
- void sift(RecordType r[], int k, int m)
- {
- /*假设r[k...m]是以r[k]为根的完全二叉树,而且分别以r[2k]和r[2k+1]为根的左右子树为大根堆,调整r[k],使整个序列r[k...m]满足堆的性质*/
- t = r[k];/*暂存“根”记录r[k]*/
- x = r[k].key;
- i = k;
- j = 2 * i;
- finished = FALSE;
- while(j <= m && !finished)
- {
- if(j < m && r[j].key < r[j + 1].key)
- j = j + 1;/*若存在右子树,且右子树根的关键字大,则沿右分支“筛选”*/
- if(x >= r[j].key)
- finished = TRUE;/*筛选完毕*/
- else
- {
- r[i] = r[j];
- i = j;
- j = 2 * i;
- }/*继续筛选*/
- }
- r[i] = t;/*将r[k]填入到恰当的位置*/
- }
(2) 建初堆:
1 void crt_heap(recordType r[], int length) 2 { 3 n = length; 4 for(i = n / 2; i >= 1; --i)/*自第n/2向下取整 个记录开始进行筛选建堆*/ 5 sift(r, i, n); 6 }
(3) 堆排序:
1 void HeapSort(RecordType r[], int length) 2 { 3 crt_heap(r, length); 4 n = length; 5 for(i = n; i >= 2; --i) 6 { 7 b = r[1];/*将堆顶记录和堆中的最后一个记录互换*/ 8 r[1] = r[i]; 9 r[i] = b; 10 sift(r, 1, i - 1);/*进行调整,使r[1…i-1]变成堆*/ 11 } 12 }
① 思想:假设初始序列右n个记录,首先将这n个记录看成n个有序的子序列,每个子序列的长度为1,然后两两归并,得到n/2向上取整 个长度为2(n为奇数时,最后一个序列的长度为1)的有序子序列。在此基础上,在对长度为2的有序子序列进行两两归并,得到若干个长度为4的有序子序列。如此重复,直至得到一个长度为n的有序序列为止。
② 时间复杂度:T(n) = O(n㏒n)。
③ 空间复杂度:S(n) = O(n)。
④ 稳定性:稳定排序。
时间复杂度:平均情况—O(nlog2n) 最坏情况—O(nlog2n) 辅助空间:O(n) 稳定性:稳定
- void Merge(RecordType r1[], int low, int mid, int high, RecordType r2[])
- {
- /*已知r1[low...mid]和r1[mid + 1...high]分别按关键字有序排列,将它们合并成一个有序序列,存放在r2[low...high]*/
- i = low;
- j = mid + 1;
- k = low;
- while((i <= mid) && (j <= high))
- {
- if(r1[i].key <= r1[j].key)
- {
- r2[k] = r1[i];
- ++i;
- }
- else
- {
- r2[k] = r1[j];
- ++j;
- }
- ++k;
- }
- while(i <= mid)
- {
- r2[k] = r1[i];
- k++;
- i++;
- }
- while(j <= high)
- {
- r2[k] = r1[j];
- k++;
- j++;
- }
- }
- void MSort(RecordType r1[], int low, int high, RecordType r3[])
- {
- /*r1[low...high]经过排序后放在r3[low...high]中,r2[low...high]为辅助空间*/
- RecordType r2[N];
- if(low == high)
- r3[low] = r1[low];
- else
- {
- mid = (low + high) / 2;
- MSort(r1, low, mid, r2);
- MSort(r1, mid + 1, high, r2);
- Merge(r2, low, mid, high, r3);
- }
- }
- void MergeSort(RecordType r[], int n)
- {
- /*对记录数组r[1...n]做归并排序*/
- MSort(r, 1, n, r);
- }
时间复杂度:平均情况—O(d(n+rd)) 最坏情况—O(d(n+rd)) 辅助空间:O(rd) 稳定性:稳定
void Distribute(SLList &L, int i, ArrType &f, ArrType &e) { // 静态链表L的r域中记录已按(keys[0],...,keys[i-1])有序, // 本算法按第i个关键字keys[i]建立RADIX个子表, // 使同一子表中记录的keys[i]相同。f[0..RADIX-1]和e[0..RADIX-1] // 分别指向各子表中第一个和最后一个记录。 int j, p; for (j=0; j < RADIX; ++j) f[j] = 0; // 各子表初始化为空表 for (p=L.r[0].next; p; p=L.r[p].next) { j = L.r[p].keys[i]-'0'; // 将记录中第i个关键字映射到[0..RADIX-1], if (!f[j]) f[j] = p; else L.r[e[j]].next = p; e[j] = p; // 将p所指的结点插入第j个子表中 } } // Distribute void Collect(SLList &L, int i, ArrType f, ArrType e) { // 本算法按keys[i]自小至大地将f[0..RADIX-1]所指各子表依次链接成 // 一个链表,e[0..RADIX-1]为各子表的尾指针 int j,t; for (j=0; !f[j]; j++); // 找第一个非空子表,succ为求后继函数: ++ L.r[0].next = f[j]; // L.r[0].next指向第一个非空子表中第一个结点 t = e[j]; while (j < RADIX) { for (j=j+1; j < RADIX && !f[j]; j++); // 找下一个非空子表 if (j < RADIX) // 链接两个非空子表 { L.r[t].next = f[j]; t = e[j]; } } L.r[t].next = 0; // t指向最后一个非空子表中的最后一个结点 } // Collect void RadixSort(SLList &L) { // L是采用静态链表表示的顺序表。 // 对L作基数排序,使得L成为按关键字自小到大的有序静态链表, // L.r[0]为头结点。 int i; ArrType f, e; for (i=1; i < L.recnum; ++i) L.r[i-1].next = i; L.r[L.recnum].next = 0; // 将L改造为静态链表 for (i=0; i < L.keynum; ++i) { // 按最低位优先依次对各关键字进行分配和收集 Distribute(L, i, f, e); // 第i趟分配 Collect(L, i, f, e); // 第i趟收集 print_SLList2(L, i); } } // RadixSort
七、总结:
(1)简单排序法一般只用于n较小的情况(例如n<30)。当序列的记录“基本有序”时,直接插入排序是最佳的排序方法。如果记录中的数据较多,则应采用移动次数较少的简单选择排序法。
(2)快速排序、堆排序和归并排序的平均时间复杂度均为O(n㏒n),但实验结果表明,就平均时间性能而言,快速排序是所有排序方法中最好的。遗憾的是,快速排序在最坏情况下的时间性能为O(n²)。堆排序和归并排序的最坏时间复杂度仍为O(n㏒n),当n较大时,归并排序的时间性能优于堆排序,但它所需的辅助空间最多。
(3)可以将简单排序法与性能较好的排序方法结合使用。例如,在快速排序中,当划分子区间的长度小于某值时,可以转而调用直接插入排序法;或者先将待排序序列划分成若干子序列,分别进行直接插入排序,然后再利用归并排序法,将有序子序列合并成一个完整的有序序列。
(4)基数排序的时间复杂度可以写成O(d·n)。因此,它最适合于n值很大而关键字的位数d较小的序列。当d远小于n时,其时间复杂度接近O(n)。
(5)从排序的稳定性上来看,在所有简单排序法中,简单选择排序是不稳定的,其他各种简单排序法都是稳定的。然而,在那些时间性能较好的排序方法中,希尔排序、快速排序、堆排序都是不稳定的,只有归并排序、基数排序是稳定的。
排序方法 平均时间 最坏时间 辅助存储
简单排序 O(n2) O(n2) O(1)
快速排序 O(nlogn) O(n2) O(logn)
堆排序 O(nlogn) O(nlogn) O(1)
归并排序 O(nlogn) O(nlogn) O(n)
基数排序 O(d(n+rd)) O(d(n+rd)) O(rd)
PS:直接插入排序、冒泡排序为简单排序,希尔排序、堆排序、快速排序为不稳定排序
一、时间性能 按平均的时间性能来分,有三类排序方法: 时间复杂度为O(nlogn)的方法有:快速排序、堆排序和归并排序,其中以快速排序为最好; 时间复杂度为O(n2)的有:直接插入排序、起泡排序和简单选择排序,其中以直接插入为 最好,特别是对那些对关键字近似有序的记录序列尤为如此; 时间复杂度为O(n)的排序方法只有,基数排序。 当待排记录序列按关键字顺序有序时,直接插入排序和起泡排序能达到O(n)的时间复杂度;而对于快速排序而言,这是最不好的情况,此时的时间性能蜕化为O(n2),因此是应该尽量避免的情况。 简单选择排序、堆排序和归并排序的时间性能不随记录序列中关键字的分布而改变。
二、空间性能 指的是排序过程中所需的辅助空间大小。 1. 所有的简单排序方法(包括:直接插入、起泡和简单选择)和堆排序的空间复杂度为O(1); 2. 快速排序为O(logn),为栈所需的辅助空间; 3. 归并排序所需辅助空间最多,其空间复杂度为O(n ); 4.链式基数排序需附设队列首尾指针,则空间复杂度为O(rd )。
三、排序方法的稳定性能 1. 稳定的排序方法指的是,对于两个关键字相等的记录,它们在序列中的相对位置,在排序之前和经过排序之后,没有改变。 2. 当对多关键字的记录序列进行LSD方法排序时,必须采用稳定的排序方法。 3. 对于不稳定的排序方法,只要能举出一个实例说明即可。 4. 快速排序和堆排序是不稳定的排序方法
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