机器学习，详解SVM软间隔与对偶问题

今天是机器学习专题的第34篇文章，我们继续来聊聊SVM模型。

我们在上一篇文章当中推导了SVM模型在硬间隔的原理以及公式，最后我们消去了所有的变量，只剩下了(alpha)。在硬间隔模型当中，样本是线性可分的，也就是说-1和1的类别可以找到一个平面将它完美分开。但是在实际当中，这样的情况几乎是不存在的。道理也很简单，完美是不存在的，总有些样本会出错。

那针对这样的问题我们应该怎么解决呢？

软间隔

在上文当中我们说了，在实际的场景当中，数据不可能是百分百线性可分的，即使真的能硬生生地找到这样的一个分隔平面区分开样本，那么也很有可能陷入过拟合当中，也是不值得追求的。

因此，我们需要对分类器的标准稍稍放松，允许部分样本出错。但是这就带来了一个问题，在硬间隔的场景当中，间隔就等于距离分隔平面最近的支持向量到分隔平面的距离。那么，在允许出错的情况下，这个间隔又该怎么算呢？

为了解决这个问题，我们需要对原本的公式进行变形，引入一个新的变量叫做松弛变量。松弛变量我们用希腊字母(xi)来表示，这个松弛变量允许我们适当放松$y_i(omega^T x_i + b) ge 1 (这个限制条件，我们将它变成)y_i(omega^T x_i + b) ge 1-xi_i $。

也就是说对于每一条样本我们都会有一个对应的松弛变量(xi_i)，它一共有几种情况。

1. (xi=0)，表示样本能够正确分类
2. (0 < xi < 1)，表示样本在分割平面和支持向量之间
3. (xi = 1)，表示样本在分割平面上
4. (xi ge 1)，表示样本异常

我们可以结合下面这张图来理解一下，会容易一些：

松弛变量虽然可以让我们表示那些被错误分类的样本，但是我们当然不希望它随意松弛，这样模型的效果就不能保证了。所以我们把它加入损失函数当中，希望在松弛得尽量少的前提下保证模型尽可能划分正确。这样我们可以重写模型的学习条件：

[egin{align*} &minquad frac{1}{2}||omega||^2 + Csum_{i=1}^mxi_i\ & egin{array}{r@{quad}r@{}l@{quad}l} s.t.&y_i(omega^Tx_i+b)geq1-xi_i, &i=1,2,3ldots,n\ &xi_i geq 0,&i=1,2,3ldots,n\ end{array} end{align*}]

这里的C是一个常数，可以理解成惩罚参数。我们希望(||omega||^2)尽量小，也希望(sum xi_i)尽量小，这个参数C就是用来协调两者的。C越大代表我们对模型的分类要求越严格，越不希望出现错误分类的情况，C越小代表我们对松弛变量的要求越低。

从形式上来看模型的学习目标函数和之前的硬间隔差别并不大，只是多了一个变量而已。这也是我们希望的，在改动尽量小的前提下让模型支持分隔错误的情况。

模型推导

对于上面的式子我们同样使用拉格朗日公式进行化简，将它转化成没有约束的问题。

首先，我们确定几个值。第一个是我们要优化的目标：(f(x)=min_{omega, b, xi}frac{1}{2}||omega||^2 + Csum_{i=1}^m xi_i)

第二个是不等式约束，拉格朗日乘子法当中限定不等式必须都是小于等于0的形式，所以我们要将原式中的式子做一个简单的转化：

[egin{aligned} g(x) = 1 - xi_i - y_i(omega^Tx_i + b) leq 0 \ h(x) = -xi_i le 0 end{aligned} ]

最后是引入拉格朗日乘子: (alpha = (alpha_1, alpha_2, cdots, alpha_m), eta = (eta_1, eta_2, cdots, eta_m))

我们写出广义拉格朗日函数：(L(omega, b, xi, alpha, eta) = frac{1}{2}||omega||^2 + Csum_{i=1}^m xi_i, + sum_{i=1}^m alpha_i(1 - xi_i - y_i(omega^Tx_i + b)) -sum_{i=1}^m eta_ixi_i)

我们要求的是这个函数的最值，也就是(min_{omega, b, xi}max_{alpha ge 0, etage 0}L(omega, b, xi, alpha, eta))。

在处理硬间隔的时候，我们讲过对偶问题，对于软间隔也是一样。我们求L函数的对偶函数的极值。

对偶问题

原函数的对偶问题是(max_{alpha ge0, eta ge 0}min_{omega, b, xi}L(omega, b, xi, alpha, eta))，这个对偶问题要成立需要满足KKT条件。

我们先把这个KKT条件放一放，先来看一下对偶问题当中的内部的极小值。这个极小值没有任何约束条件，所以我们可以放心大胆地通过求导来来计算极值。这个同样是高中数学的内容，我们分别计算(frac{partial L}{partial omega})，(frac{partial L}{partial b})和(frac{partial L}{partial xi})。

求导之后，我们可以得到：

[egin{aligned} frac{partial L}{partial omega} = 0 & ightarrow omega = sum_{i=1}^m alpha_i y_i x_i \ frac{partial L}{partial b} = 0 & ightarrow sum_{i=1}^m alpha_i y_i = 0 \ frac{partial L}{partial xi} = 0 & ightarrow eta_i = C - alpha_i end{aligned} ]

我们把这三个式子带入对偶函数可以得到：

[egin{aligned} L(omega, b, xi, alpha,eta) &= frac{1}{2} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^m alpha_i alpha_j y_iy_jx_i^Tx_j + Csum_{i=1}^m xi_i + sum_{i=1}^m alpha_i (1 - xi_i) - sum_{i=1}^m (C - alpha_i) xi_i \ &= sum_{i=1}^malpha_i - frac{1}{2}sum_{i=1}^m sum_{j=1}^m alpha_i alpha_j y_iy_jx_i^Tx_j end{aligned} ]

由于(eta_i ge 0)，所以我们可以得到(0 le alpha_i le C)，所以最后我们可以把式子化简成：

[egin{align*} &max_{alpha} sum_{i=1}^malpha_i - frac{1}{2} sum_{i=1}^m sum_{j=1}^m alpha_i alpha_j y_iy_jx_i^Tx_j\ & egin{array}{r@{quad}r@{}l@{quad}l} s.t.& sum_{i=1}^m alpha_i y_i = 0 \ & 0 le alpha_i le C,&i=1,2,3ldots,m\ end{array} end{align*}]

将原始化简了之后，我们再回过头来看KKT条件。KKT条件单独理解看起来有点乱，其实我们可以分成三个部分，分别是原始问题可行：

[egin{aligned} 1 - xi_i - y_i(omega^Tx_i + b) le 0 \ -xi_i le 0 end{aligned} ]

对偶问题可行：

[egin{aligned} alpha_i ge 0 \ eta_i = C - alpha_i end{aligned} ]

以及松弛可行：

[egin{aligned} alpha_i (1 - xi - y_i(omega^Tx_i + b)) = 0 \ eta_i xi_i = 0 end{aligned} ]

我们观察一下倒数第二个条件：(alpha_i (1 - xi - y_i(omega^Tx_i + b)) = 0)。

这是两个式子相乘并且等于0，无非两种情况，要么(alpha_i = 0)，要么后面那串等于0。我们分情况讨论。

1. 如果(alpha_i = 0)，那么(y_i(omega^Tx_i + b) - 1 ge 0)，样本分类正确，不会对模型产生影响。
2. 如果(alpha_i > 0)，那么(y_i(omega^Tx_i + b) = 1 - xi_i)，则样本是支持向量。由于(C = alpha_i + eta_i) ，并且(eta_i xi_i= 0)。我们又可以分情况：
   1. (alpha_i < C)，那么(eta_i > 0)，所以(xi_i = 0)，那么样本在边界上
   2. 如果(alpha_i = C)，那么(eta_i = 0)，如果此时(xi le 1)，那么样本被正确分类，否则样本被错误分类

经过了化简之后，式子当中只剩下了变量(alpha)，我们要做的就是找到满足约束条件并且使得式子取极值时的(alpha)，这个(alpha)要怎么求呢？我们这里先放一放，将在下一篇文章当中详解讲解。

今天的文章到这里就结束了，如果喜欢本文的话，请来一波素质三连，给我一点支持吧（关注、转发、点赞）。

原文链接，求个关注