整数划分

题目：

"The problem is, given an positive integer N, we define an equation like this:
  N=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[m];
  a[i]>0,1<=m<=N;
My question is how many different equations you can find for a given N.
For example, assume N is 4, we can find:
  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;
so the result is 5 when N is 4. Note that "4 = 3 + 1" and "4 = 1 + 3" is the same in this problem. Now, you do it!"

A.递归函数法

用函数f(n,m)表示：把数字n拆分所能得到的式子个数，其中所拆分得到的数中最大不超过数字m。故在原题中所求的即为f(n,n)。

在讨论f(n,m)时，可大体上分为四种情况讨论：

1.当n=1或m=1时，f(n,m)=1。//最基本的一点

1.当n=m时,f(n,m)=f(n,n-1)+1。

   因为数字n要拆分成含n的几个数字之和，只有n=n这一个式子。

2.当n<m时，f(n,m)=f(n,n)。

3.当n>m时，f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)。//难点，也是整个递归法的重点

  此时还可分为两种情况讨论：

  a.当划分中不包含m时：

      因不包含m，故剩下的划分数都比m要小，其中最大的为m-1,因此，这种情况下的划分个数为f(n,m-1)；

  b.当划分数包含m时：

      即{m,(a1,a2,a3，...,ai)},其中（a1,a2,a3,...,ai）的和为n-m，此时m还有可能再次出现，故此种情况下的划分个数为f(n-m,m)；

  综上f(n,m)=f(n,m-1)+f(n-m,m)。

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int f(int n,int m)
{
    if(n<1 || m<1) return 0;
    if(m==1 || n==1) return 1;
    if(m>n) return f(n,n);
    if(m==n) return (f(n,m-1)+1);
    if(n>m) return (f(n,m-1)+f(n-m,m));
}

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        cout<<f(n,n)<<endl;;
    }
    return 0;
}

//递归函数虽然思路简单，但十分耗时，当数据较大时就不能用了！

 

B.母函数法.

母函数：

  对于任意数列a0,a1,a2...an 即用如下方法与一个函数联系起来即：

  G(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 +....+ anx^n

  则称G(x)是数列的生成函数(generating function)即母函数。

在上面题目中构造的母函数为g(x)=(1+x^1+x^2+x^3+...+x^i)(1+x^2+x^4+x^6+...+x^2i)(1+x^3+x^6+x^9+...+x^3i)...(1+x^n+x^2n+...+x^nj)

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;

#define M 200

int c1[M],c2[M];

int main()
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        memset(c1,0,sizeof(c1));
        memset(c2,0,sizeof(c2));
        c1[0]=1;
        int j,i,k;
        for(i=1;i<=n;i++)//i代表的是第i个括号
        {
            for(j=0;j<=n;j++)//j代表的是第i个括号前i-1个括号全部相乘后,所得到的的一个新的大括号里的x的指数
                for(k=0;k+j<=n;k+=i)//k代表的是第i个括号里的x的指数

                {
                    c2[k+j]=c2[k+j]+c1[j];
                }
            for(j=0;j<=n;j++)
                c1[j]=c2[j];
             memset(c2,0,sizeof(c2));
        }
        cout<<c1[n]<<endl;
    }
    return 0;
}