进制转换

　　进位计数制

　　生活中我们常用的是10进制，但在计算机中数据都是以2进制的形式保存的。因此，熟练掌握2进制的特点和运算是编写程序并不可少的前提。

　　一般来说，进位计数制包含三个要素：

1. 数制使用的数码：十进制含10个数码０～９，二进制含２个数码０和１等。

2. 进位规则：十进制为逢十进一，二进制为逢二进一等。

3. 每一个数位上数码所具有的权：十进制数码各位的权是以10为底的幂，二进制数码各位的权是以２为底的幂。

　　一般而言，对于用R进制表示的数N（R为任意正整数），可以按权展开为：

　　N=K_n×Rⁿ+K_n-1×R^n-1+…+K₁×R¹+K₀×R⁰+K_-1×R^-1+…+K_-m×R^-m  （公式A）

　　例：828.8 = 8×102+2×101+8×100+8×10^-1，这里必须要注意的是任何进制中个位数的权值都是1，从右往左权值越来越大。

　　常用进制

　　在计算机中，常用的进制有四种：2进制（代号B），8进制（代号O），16进制（代号H）和10进制（代号D），其中16进制所用的数码为0-9和A-F（A代表10，F代表15）。这里之所以加入了8进制和16进制，是因为用2进制表达数值需要的位数往往很大，不便于书写和阅读。

　　不同的进位计数制之间需要进行转换，而且以10进制与2进制之间的转换为主，需要熟练掌握。另外为了今后的计算方便，最好能够熟练掌握0-15之间的各进制的表示，这会大大方便今后的学习。

　　

　　进制转换

　　1、任意进制转换为10进制：任意R进制数转换成十进制数比较简单，只需按权展开然后相加，其和便是相应的十进制数。这种方法称为按权相加法。

　　这里还是需要提醒一下，计算权值的时候需要从个位开始数起，往左递增，往右递减。

　　例：求与（11011.01）2等值的十进数

　　(11011.01)₂=1×2⁴+1×2³+0×2²+1×2¹+1×2⁰+0×2^-1+1×2^-2=16+8+0+1+0+0.25=(27.25)₁₀

　　例：将十六进制数35B转换成十进数.

　　(35B)₁₆=3×16²+5×16¹+11×16⁰=768+80+11=(859)₁₀

　　2、10进制整数转换为其他进制：这里主要用的是除基取余法。

　　由上面的公式A容易得知：将N除以R之后，K₀这一项就成为了本次除法的余数，然后继续重复该过程，就依次取得了K₁，K₂直至K_n，当数变成0的时候过程结束。

　　注意这里是倒序的过程，首先取得的数反而是在最后面。

　　例：将10进制的18转换为2进制，推演过程如下。

　　

　　所以（18）₁₀=（10010）₂

　　将10进制的数转换为其他进制的方法是雷同的。

　　例：100除以16余数为4商为6，因此K₀=4；6除以16余数为6商为0，因此K₁=6，所以（100）₁₀=（64）₁₆。

　　3、2进制与8进制、16进制间的转换

　　二进制数转换成八进制数的方法可以概括为“三位并一位”，八进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆三位”；  

　　二进制数转换成十六进制数的方法可以概括为“四位并一位”，十六进制数转换成二进制数的方法可以概括为“一位拆四位”

　　例： 将 (11101.1101)2转换成八进制数。

　　解：  0 1 1 1 0 1 . 1 1 0 1 0 0

                3      5          6     4

　　所以  (11101.1101)₂=(35.64)₈

　　这里特别要注意的是，如果位数不正好是3或4的倍数的话，需要在整数位的最前方和小数位的最后方补0，这样才不会改变原有数的值。

　　例：将（25.C4）₁₆转换成二进制数。

　　解： 2      5  .     C      4

　　  0010  0101   1100  0100

　　所以  (25.C4)₁₆=(100101.110001)₂

　　另外，任意进制间的小数转换比较复杂且很可能会得到无限循环的小数，这里就不展开了。

　　总结与提示

　　1、掌握和了解不同的进制是学习计算机编程的必备环节，特别是2进制的内容和计算，必须熟练掌握。

　　2、将10进制转换为2进制，用除基取余法显得有些笨重，而且运算次数过多。在下一个专题中，将介绍一种相对简便快捷的方法。

　　3、8，16进制和2进制的转换，需要注意必须从个位数开始进行数数。如(11111)₂=(37)₈，而不是(76)₈，补0只能补在最前或者最后，不能补在中间。