【拓扑排序】车间作业调度

1.DFS（深度优先搜索）

深度优先搜索算法（Depth-First-Search），是搜索算法的一种。它沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所有边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。

深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题，如最大路径问题等等。一般用堆数据结构来辅助实现 DFS 算法。

深度优先遍历图算法步骤：

　　1.  访问顶点v；

　　2.  依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；

　　3.  若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

　　上述描述可能比较抽象，举个实例：

　　DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的任一邻接顶点 w1；再从 w1 出发，访问与 w1 邻 接但还没有访问过的顶点 w2；然后再从 w2 出发，进行类似的访问，… 如此进行下去，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。

　　接着，退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问；如果没有，就再退回一步进行搜索。重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为止。

2.BFS (广度优先搜索)

广度优先搜索算法（Breadth-First-Search），是一种图形搜索算法。简单的说，BFS 是从根节点开始，沿着树(图)的宽度遍历树(图)的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。一般用队列数据结构来辅助实现 BFS 算法。

　　算法步骤：

　　1.  首先将根节点放入队列中。

　　2.  从队列中取出第一个节点，并检验它是否为目标。

• 如果找到目标，则结束搜寻并回传结果。
• 否则将它所有尚未检验过的直接子节点加入队列中。

　　3.  若队列为空，表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传“找不到目标”。

　　4.  重复步骤2。

3.拓扑排序

　　算法思想：

　　1、在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之;

　　2、从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出的有向边;

　　3、重复以上步骤, 直到

　　◆ 全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成，拓扑排序完成；

　　◆ 或者图中还有未输出的顶点，但已跳出处理循环。这说明图中还剩下一些顶点，它们都有直接前驱，再也找不到没有前驱的顶点了。这时AOV网络中必定存在有向环。

4.深度优先或广度优先遍历的方法进行拓扑排序。

应用有：

　　1、判断一个有向图是否存在回路，为求有向图的最长路径。

　　2、排队

 

下面举一个排队的例子：

题目要求如上图

程序如下：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<stack>
using namespace std;
void breadth_sort(int **neighbors,int count,queue<int>&topological_order);
void depth_sort(int **neighbors,int count,stack<int>&topological_order);
void recursive_depth_sort(int **neighbors,int v,bool *visited,stack<int>&topological_order);
int main()
{//为了测试宽度与深度，本程序两种排序同时输出
    int number,com;
    int task_number;
    int **array;
    int *b;
    queue<int>breadth_order;
    stack<int>depth_order;
    cin>>task_number;
    for(int i=0;i<task_number;i++)//题目要求的任务数
    {
        cin>>number>>com;
        array=new int*[number+1];
        b=new int[number+1];
        for(int k=0;k<=number;k++)
        {
            array[k]=new int[number+1];
            b[k]=0;                   
        }    
        for(int m=0;m<=number;m++)
        for(int n=0;n<=number;n++)//矩阵初始化
            array[m][n]=0;
        for(int j=0;j<com;j++)
        {
            int p,q;
            cin>>p>>q;
            array[p][b[p]]=q;  //添加后继
            b[p]++;       //添加一个后继，值+1
        }    
        breadth_sort(array,number,breadth_order);//广度排序
        while(breadth_order.size()!=NULL)
            {
                cout<<breadth_order.front()<<' ';
                breadth_order.pop();
            }
        cout<<endl;
        depth_sort(array,number,depth_order);//深度排序
        while(depth_order.size()!=NULL)
            {
                cout<<depth_order.top()<<' ';
                depth_order.pop();
            }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}    
void breadth_sort(int **neighbors,int count,queue<int>&topological_order)
{//广度优先排序，无前驱的先输出,用了队列
    int v;
    int *predecessor_count=new int[count+1];
    for(v=1;v<=count;v++)predecessor_count[v]=0;
    for(v=1;v<=count;v++)
        for(int i=0;neighbors[v][i]!=0;i++){        
            predecessor_count[neighbors[v][i]]++;
        }
    queue<int>ready_to_process;
    for(v=1;v<=count;v++)
        if(predecessor_count[v]==0)
            ready_to_process.push(v);
        while(!ready_to_process.empty()){
            v=ready_to_process.front();
            topological_order.push(v);
            for(int j=0;neighbors[v][j]!=0;j++){            
                predecessor_count[neighbors[v][j]]--;
                if(predecessor_count[neighbors[v][j]]==0)
                    ready_to_process.push(neighbors[v][j]);
            }
            ready_to_process.pop();
        }
}
void depth_sort(int **neighbors,int count,stack<int>&topological_order)
{//深度优先排序，无前驱的先输出，用了堆栈
    bool *visited=new bool[count+1];
    int v;
    for(v=1;v<=count;v++)visited[v]=false;
    for(v=1;v<=count;v++)
        if(!visited[v])
            recursive_depth_sort(neighbors,v,visited,topological_order);
}

void recursive_depth_sort(int **neighbors,int v,bool *visited,stack<int>&topological_order)
{
    visited[v]=true;
    for(int i=0;neighbors[v][i]!=0;i++){
    
        if(!visited[neighbors[v][i]])
            recursive_depth_sort(neighbors,neighbors[v][i],visited,topological_order);
    }
    topological_order.push(v);
}