[动态规划] 能量苹果问题

Maximum Energy

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Description:

Bob wanted to increase his energy by eating AC-APPLEs. There are N(1 <= N <= 150,000) AC-APPLEs, each AC-APPLE had a magic value "v" which is a positive interger and not bigger than 500. Bob visited AC-APPLEs which are given in order, every time he faced an AC-APPLE, he can choose "eat this one" or "pass this one". The odd time Bob ate, he increase v units energy. The even time Bob ate, he decrease v units energy. Before eating any AC-APPLE, Bob's enerny is 0. Please calculate the Maximum Energy Bob can increase by eating AC-APPLEs.

 

Input:

The input will consist of more than one data set. Each data set has two lines. First line has an interger N. Second line has N intergers which means the magic value of each AC-APPLEs.

 

Output:

the Maximum Energy Bob can increase

 

Sample Input:

8

7 2 1 8 4 3 5 6

 

Sample Output:

17

 

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问题翻译：

现有N(1<=N<=150,000)个苹果组成的序列，每个苹果有一个能量值v( 1<=v<=500)。鲍勃依次访问这些苹果，没次遇到一个苹果，鲍勃有两种选择，吃掉它或忽略它。当鲍勃第奇数次吃苹果时，他的能量增加v，当第偶数次吃苹果时，他的能量值减v。初始状态鲍勃的能量值为0，请计算鲍勃可能得到的最大能量值。

 

输出：

可能获得的最大能量值

 

输入例子：

8

7 2 1 8 4 3 5 6

输出例子：

17

 

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首先分析问题解的性质。面对这一串苹果，鲍勃的选择很多，每遇到一个苹果，都可以选择“吃”或“不吃”。所有可能的情况有2^N, 因此遍历所有的情况是不现实的。由于鲍勃的目的是获取最大能量，所以鲍勃吃的最后一个苹果，一定是增加能量，即第奇数次吃苹果。若鲍勃最后吃了偶数个苹果，则可以通过忽略最后吃的那个苹果，获得更大的能量状态，可以证明上述推断。

 

再考虑整个问题是否能被分解为若干子问题。当鲍勃已经处理了N-1个苹果，遇到最后一个苹果时，可以“吃”或“不吃"，这依赖于在处理完N-1个苹果后鲍勃的状态。鲍勃可能有两种状态，已经吃了奇数个苹果，已经吃了偶数个苹果。当已经吃了奇数个苹果，如果再选择“吃”，则会降低能量，因此在N-1阶段，若鲍勃的状态为奇数，则会选择“不吃”。同样的思路，可以证明若在N-1阶段鲍勃的状态为偶数，他会选择"吃"。

定义f(L_x)为处理了苹果序列L的前x个苹果后，可以得到的最大能量。根据上述分析，f(L_x)依赖于三个值，处理完x-1个苹果且吃了偶数个苹果时的最大能量值，v_x，处理完x-1个苹果且吃了偶数个苹果时的最大能量值。根据一开始的分析，f(L_x-1)必定吃了奇数个苹果。再定义函数g(L_x)表示处理完x个苹果，且吃了偶数个时的最大能量值。至此，可以写出递归公式。g(L_x)的递归关系与f(L_x) 类似。

f(L_x) = max{f(L_x-1), g(L_x-1) + v_x}

g(L_x) = max{g(L_x-1),  f(L_x-1) - v_x}  

f(L₀)=0

g(L₀)=0

可利用动态规划求解。

 

以此输入为例。

8

7 2 1 8 4 3 5 6

	1	2	3	4	5	6	7	8
vx	7	2	1	8	4	3	5	6
f(Lx)	7	7	7	14	14	14	16	17
g(Lx)	0	5	6	6	10	11	11	11

 

 

 

 

 

 

可以得到解f(L₈)=17