[动态规划] 找硬币问题

问题：

有3，5，7分钱的硬币，以及给定的数额N，求找开N所需的最小硬币数目。

扩展问题：

有(V₁, V₂, V₃, ..., V_m)硬币面额，面额数目为m，以及给定的数额N，求找开N所需的最小硬币数目，或断定不能找开。

 

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硬币找零是比较经典的动态规划问题，在某些面额组合的情况下，可以用贪心算法求解。《算法导论》中将硬币找零问题作为贪心算法的例子。在这里，随机选取三个素数作为面额。

 

对于某一数额N，若能被给定的面额找开，可以分为两种情况。

1、N恰好等于某一硬币的面额，这样找开N只需一枚硬币；

2、N需要多枚硬币才能找开。

现在主要分析第二种情况。当一枚硬币找不开时，则数额N一定可以被分为两个子数额N₁，N₂的找零问题，其中N₁+N₂=N，且要分别找到N₁，N₂的最优解。

定义f(N)为对数额N的找零最小硬币数，可以写出递归式。

f(N) = 1                   　　　　　　　　        N恰好为某一硬币面额

f(N) = min_{(i from 1 to N/2)} ( f(i) + f(N-i) )     N不是硬币面额

可以利用动态规划求解。以23为例进行计算。

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23
f(N)	-1	-1	1	-1	1	2	1	2	3	2	3	2	3	2	3	4	3	4	3	4	3	4	5

 

 

 

f(23) = 5

数额23在硬币面额为(3,5,7)的情况下可以找开，最少需要5枚硬币。