HDU 5514 题解

题意：给出n和m，代表有n只青蛙和m颗标号为0~m-1的石子，m颗石子围成一个圈，给出n个数据a_i表示一只青蛙一次能跳多少步，求最终所有被青蛙踩过的石子的标号和。

1<=N<=10000，1<=m<=1e9,1<=a_i<=1e9;共1~20组数据，1000MS

算法/思路：容斥原理：首先为了方便处理，将a_i变为gcd(a_i,m)（用数论知识可以证明结果不变），然后使用容斥原理，当然不能用2ⁿ那么多次操作的方法，于是有一个较为巧妙的方法，求出m的所有因子(约为log₂m个)，并从小到大排序，然后对第i个因子，依次判断每个a_i是否有经过它，有则将vis[i]记为1，否则为0，并将所有num[i]初始化为0(num数组用于表示某数用过多少次)，最后从小到大扫描每个因子A_i，令ans+=(vis[i]-num[i])*(A_i*(m/A_i-1)/2)，并扫描所有比A_i大的因子A_k，若A_k是A_i的倍数，则num[k]+=(vis[i]-num[i])，这样显然每个数最终只使用一次(相当于容斥时直接判断数被重复利用了几次)。算法复杂度O(log₂m(n+log₂m))

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
    
const int maxn=10005;
    
int t,n,m,sq,tot;
int a[maxn+5];
vector<int> vis,num;
vector<long long> x;
long long ans;
    
int gcd(int x,int y){if (y==0) return x;else return gcd(y,x%y);}
    
void init(){
    x.clear();tot=1;ans=0;
    vis.clear();num.clear();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
}
    
int main()
{
    scanf("%d",&t);
    for (int q=1;q<=t;++q){
        init();
        sq=floor(sqrt(m)+0.5);
        x.push_back(1);//故初始化tot=1; 
        for (int i=2;i<=sq;++i) if (m%i==0){
            x.push_back(i);++tot;
            if (m/i==i) continue;
            x.push_back(m/i);++tot;
        }
        vis.resize(tot,0);num.resize(tot,0);
        //for (int i=0;i<x.size();++i) {printf("%d%d
",vis[i],num[i]);}
        sort(x.begin(),x.end());
        for (int i=1;i<=n;++i){
            a[i]=gcd(m,a[i]);
            for (int j=0;j<x.size();++j) if (x[j]%a[i]==0) vis[j]=1;
        }
        //for (int i=0;i<x.size();++i) {printf("%d%d
",vis[i],num[i]);}
        for (int i=0;i<x.size();++i) if (vis[i]!=num[i]){
            ans+=m*(m/x[i]-1)/2*(vis[i]-num[i]);
                
            for (int j=i+1;j<x.size();++j) if (x[j]%x[i]==0) num[j]+=vis[i]-num[i];
        }
        printf("Case #%d: %lld
",q,ans);
    }
}