简单数列极限证明
1.$lim_{n o infty} sqrt[n]{a}=1 $
猜测极限是1，考虑使用夹逼定理。构造数列(a_n) ,
(sqrt[n]{a}=1+a_n),所以(a=(a_n+1)^n>1+na_n)
(a_n<frac{a-1}{n} o0)
于是根据夹逼定理(1<sqrt[n]{a}<1+a_n o 1)
2.$lim_{n o infty} sqrt[n]{n}=1 $
同理(sqrt[n]{n}=1+a_nimplies n=(1+a_n)^n>frac{1}{2}n*(n-1)a_n)
(a_n<frac{2}{n-1} o 0)
3.$lim_{n o infty}frac{n!}{n^n}=0 $
这个非常简单，因为(n!=n*(n-1)*cdots2*1=n*(n-1)*cdots2<n^{n-1})
(frac{n!}{n^n}<frac{1}{n} o 0)
4.$lim_{n o infty}frac{n^k}{n!}=0 $
不妨设(n-k+1>frac{n}{2})
[egin{align}
frac{n^k}{n!}&=frac{overbrace{n*n*n*cdots*n}^{k}*overbrace{1*1*cdots*1}^{n-k} }{n*(n-1)*cdots*2*1}\
&<frac{overbrace{n*n*n*cdots*n}^{k}*overbrace{1*1*cdots*1}^{n-k} }{(n-k+1)^k*(n-k)!}\
&<frac{1}{2^k}*frac{1}{(n-k+1)!} o 0
end{align}
]
5.$ lim_{n o infty} {n^k} / {a^n}=0(a>1) $
不妨设(n-k+1>frac{n}{2})
[egin{align}
frac{n^k}{a^n}&=frac{n^k}{(1+(a-1))^n}<frac{(frac{n}{2})^k*2^k}{frac{n(n-1)(n-2)cdots(n-k+1)(n-k)}{(k+1)!}*(a-1)^k}
\&<frac{2^k*(k+1)!}{(a-1)^k(n-k)} o 0
end{align}
]
6.$ lim_{n o infty}frac{a^n}{n!}=0 $
[egin{align}
frac{a^n}{n!}&=frac{overbrace{acdots a}^{n}}{n(n-1)cdots(2([a]+1))!}<frac{overbrace{acdots a}^{n-2([a]+1)}}{[2([a]+1)+1]^{2-2([a]+1)}}*frac{overbrace{acdots a}^{2([a]+1)}}{(2([a]+1))!}\
&<(frac{1}{2})^{n-2([a]+1)}*frac{overbrace{acdots a}^{2([a]+1)}}{(2([a]+1))!}=M*frac{1}{2^n} o0
end{align}
]
7.$ lim_{n o infty}{a ^ n}/{n^n}=0 $
不妨设(n>2a)
(frac{a^n}{n^n}=(frac{a}{n})^n<(frac{a}{2a})^n=frac{1}{2^n} o 0)