微分中值定理
费马引理
费马引理:设函数(f(x))在点(x_0)的某领域(U(x_0))内有定义,并且在(x_0)处可导,如果对任意的(xin U(x_0)),(有f(x)leq f(x_0)),那么$$f'(x_0)=0.$$
罗尔定理
如果(f(x))满足,在闭区间([a,b])上连续,且可导,在区间端点处的函数值相等,即(f(a)=f(b)),那么在((a,b))内至少有一点(xi (a<xi<b)),使得$$f'(xi)=0$$.
拉格朗日中值定理
如果(f(x))满足,在闭区间([a,b])上连续,且可导,那么在((a,b))内至少有一点(xi (a<xi<b)),使得,$$f(b)-f(a)=f'(xi)(b-a)$$.
换一种写法可能会比较好懂:
[f'(xi)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}
]
引进辅助函数(varphi(x)=f(x)-f(a)),结合Rolle定理可以证明.
柯西中值定理：
如果(f(x),F(x))满足,在闭区间([a,b])上连续,且可导,那么在((a,b))内至少有一点(xi (a<xi<b)),使得,
[frac{f(t_{2})-f(t_{1})}{F(t_{2})-F(t_{1})}=frac{f^{'}(t^{'})}{F^{'}(t^{'})}
]
设(varphi(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)),结合Rolle定理可以证明.
Taylor展式
Taylor展开
设函数(f(x))在点(x_0)的某领域(U(x_0))内具有n+1阶导数,如果对任意的(xin U(x_0)),有:
[f(x)=f(x_{0})+frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}\+……+frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+R_n(x)
]
[R_n(x)=frac{f^{n+1}(xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}
]
当(x)趋近于(x_0)的时候,(R_n(x)=O(x^n)),称为佩亚诺余项,(R_n)称为拉格朗日余项
拉格朗日余项可以多次迭代运用柯西中值定理可以得到.
再看Taylor展式,要近似模仿一个函数(f(x)),只要让另一个函数在某处的初始项,一阶导数,二阶导数...n阶导数相同.
用待定系数法可以推倒:
设:
[g_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+cdots+a_n(x-x_0)^n
]
又:
[g_n(x_0)=f(x_0)\g_n'(x_0)=f'(x_0)\g_n''(x_0)=f''(x_0)\cdots\g_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)
]
故
[a_n=frac{f^{(n)}}{n!}
]
麦克劳林级数
当(x_0=0)时,我们称这样特别的展开式为麦克劳林级数.
麦克劳林级数有一些有用的例子.
(e^x)的n阶麦克劳林公式
[e^x=1+x+frac{x^2}{2!}+...+frac{x^n}{n!}
]
[e=1+1+frac{1}{2!}+...+frac{1}{n!}
]
三角函数的麦克劳林公式
[sin x=x-frac{x^3}{3!}+frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{m-1}frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}
]
[cos x=1-frac{x^2}{2!}+frac{x^4}{4!}-...+(-1)^{m-1}frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}
]