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补充一点复数的知识,学FFT要用.
虚数
在数学中，虚数就是形如(a+bi)的数，其中a,b是实数，且(b≠0,i^2=-1)。
虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。
后来发现虚数(a+b*i)的实部(a)可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数(a+b*i)可与平面内的点((a,b))对应。
其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。
为什么要引入虚数?这种东西在我们现实生活中似乎并不存在,引入它有什么用?
在解一些问题的时候,你发现两个完全两个阴阳两面的问题,却要列两个不同的方程式.可是仔细想想这两个问题似乎真的只是相反而已.为什么方程式完全不同?还是这两个方程有什么本身的内在联系?
例子可以看这篇文章.
https://www.zhihu.com/question/22443712/answer/115052135
(i^n)的周期性
[i^1=i\i^2=-1\i^3=-i\i^4=1\i^5=i
\cdots]
你可以发现(f(x)=i^n)的最小正周期是4.
这个奇妙的性质使i这个数在一些领域有很大的作用,比如你在复数(复向量)乘以一个i就相当于在坐标系里旋转(90^circ)
共轭复数
(a+bi,a-bi)形如这样的一对复数我们称它为一对共轭复数.
运算
三角表示法
对于一个复数(X=a+bi),记它的膜长(r=|X|=sqrt {a^2+b^2}),辐角( heta)为这个数在横坐标为实部,纵坐标为虚部的坐标轴上的向量和x轴的夹角.那么我们的复数x就可以表示为(X=r(cos heta+isin heta))
指数表示法
[e^{i heta}=1+frac{1}{1!}i heta+frac{1}{2!}(i heta)^2+frac{1}{3!}(i heta)^3...\=1+frac{1}{1!}i heta-frac{1}{2!} heta^2+frac{1}{3}i heta^3-cdots
]
[isin heta=i heta-frac{1}{3!}i heta+frac{1}{5!}i heta^2-cdots\
cos heta = 1 - frac{1}{2!} heta + frac{1}{4!} heta-cdots]
两式相加得到:
[cos heta + isin heta=1+frac{1}{1!}i heta-frac{1}{2!} heta^2+frac{1}{3}i heta^3-cdots=e^{i heta}
]
于是就有对于一个复数$$X=r(isin heta + cos heta)=re^{i heta}$$
另(r=1, heta=pi),这就是伟大的euler公式
[e^{pi i}+1=0
]