插空变距离问题
插空不变距离问题
枚举法：
分配法的规则：
（先假定随便给5台给三个人中的一个人C31，然后再把最后的五台分配给三个人，这样其中一个人就会>5
【被坑过的套路】：
1、第2/3/4/5层的差值是有规律的---奇偶
2、相邻两项的和、差、乘积 -- 有规律的【1+2 = 3+4】
3、都是n的乘积【n^2】
4、所求项各位数字之和应为10
5、多重数列、、
【原数列为多重数列。
奇数项：2、7、19、45、(99)，无明显规律，作差: 5、12、26、(54)为二倍递推修正数列，具体如下：，
，
，修正项为2；
偶数项：3、10、26、60，无明显规律，作差: 7、16、34为二倍递推修正数列，具体如下：，
，修正项为2；】
重复做某事的解法（这些人都做了这个事）
据两集合容斥原理问题的公式：，可以得到
。
，尾数为8，只有A项符合。
最值问题（这些人未必都做了这个事）
间隔问题：
原来一共插了400÷16＝25面旗。题中5面彩旗没动，一共分隔出5段跑道，每段400÷5＝80米。在被分隔出的80米内，原来是16米一个小段，现在被修改成另外一个长度x。两种情况下，前后两端的彩旗都没动，中间全部被移动，那代表x与16的最小公倍数为80。代入选项，C、D两项都符合要求，但题目求最大值，则选C。
故正确答案为C。
共同工作问题：
一批零件若交由赵师傅单独加工，需要10天完成；若交由孙师傅单独加工，需要15天完成。两位师傅一起加工这批零件，需要（ ） 天完成。
已知完成工程的时间，赋值给工作总量。设工程总量为30，则赵师傅的效率为30÷10=3，孙师傅的效率为30÷15=2，因此两位师傅合作需要。
故正确答案为B。
三集合容斥原理：
设参加该次活动的总人数为x人，根据三集合容斥原理非标准型公式可得：189＋152＋135－130－2×69＝x－44，计算尾数，x的尾数为2。
故正确答案为B。
合作加工问题
由条件，“乙需要超过计划时间5天完成，两厂合作加工3天后由乙厂加工也可在计划时间完成”，则可推知乙5天完成的工作量等于甲3天完成的工作量，即，
。设加工这批零件计划时间是
天，根据工程总量相等可得：
，解得
。
故正确答案为C。
ps: 这里推测出甲乙的工作效率比较很重要！
工程问题——第一、二、三类赋值
(关键在设： 工作总量=工作效率×工作时间)
（工作总量记得设成公倍数的方式，尽量不要设成1）
【例1】一项工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，则完成这项工程需要的天数是：
A．16
B．18
C．24
D．26
【例2】某项工程，甲工程队单独施工需要30天完成，乙施工队单独施工需要25天完成，甲队单独施工了4天后改由两队一起施工，期间甲队休息了若干天，最后整个工程共耗时19天完成，问甲队中途休息了几天？
A．1
B．3
C．5
D．7
（这里中途撤离不知道多少天，但是可以确定乙工作了19-4天）
【例3】单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时。如果按照甲、乙、甲、乙、……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时间？（ ）
A．13小时40分钟
B．13小时45分钟
C．13小时50分钟
D．14小时
（照样是这么设，但是这里甲+乙是一个周期-2小时）
【作业A1】若将一项工程的1/6、1/4、1/3和1/4依次分配给甲、乙、丙、丁四家工程队，分别需要15天、15天、30天和9天完成，则他们合作完成该项工程需要的时间是（ ）。
A．12天
B．15天
C．18天
D．20天
【作业B1】工厂有5条效率不同的生产线。某个生产项目如果任选3条生产线一起加工，最快需要6天整，最慢需要12天整；5条生产线一起加工，则需要5天整。问如果所有生产线的产能都扩大一倍，任选2条生产线一起加工最多需要多少天完成？（ ）
A．11
B．13
C．15
D．30
（这里是假设生产线12345，题目的意思是找最多天数-4+5，因此用项之间相消可以得出结果）
（注意产能扩大一倍，就是说第二项那里的效率都乘2）
【作业B2】某商铺甲乙两组员工利用包装礼品的边角料制作一批花朵装饰门店。甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。问这批花有多少朵？（ ）
A．600
B．900
C．1350
D．1500
（注意：这里的30是虚拟的工作总量，算出来的t是真实的工作时间，也就是 甲：5+5/3，乙：5）
（在这个时间段内乙做了2*5=10的虚拟工作总量，甲做了30-10=20的虚拟）
（题目显示说甲比乙真实的差了300），因此就有10/300（真实相差） = 30/真实总量
【例2】A工程队的效率是B工程队的2倍，某工程交给两队共同完成需要6天。如果两队的工作效率均提高一倍，且B队中途休息了1天，问要保证工程按原来的时间完成，A队中途最多可以休息几天？（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【例3】甲、乙、丙3个施工队，乙的工效与甲、丙两队合作的工效相等，丙的工效是甲、乙两队合作工效的四分之一。现有一项工程，据测算，三队合作30个工作日可完成。如果由甲队单独来做，需要多少个工作日？（ ）
A．60
B．96
C．100
D．150
（这个题关键是根据题目的两个等式、找出甲乙丙三个人的工作效率比例）
【作业B1】小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
【作业C】甲、乙、丙三个工厂承接A和B两批完全相同的加工订单，如果甲厂和乙厂负责A订单而丙厂负责B订单，则丙厂要比甲厂和乙厂晚15天完成；如在上述条件下甲厂分配1/3的生产资源或者乙厂分配1/5的生产资源用于B订单的生产，则A、B两个订单同时完成。问如果合并三个工厂的生产能力，第几天可以完成A订单的生产任务？（ ）
A．22
B．24
C．25
D．26
(注意：这里是先找到甲乙的工作效率比例： 3：5)
然后再由于无论是甲/乙给1，都能和A一样完成B任务，所以知道丙的工作效率是6.因此三者比例是3：5：6
由于题目知道： (3+5)*t = 6*(t+15) 可以得出
n个工人的工程问题
（就是把工人的工作效率设置为1，就可以计算了）
【例1】建筑公司安排100名工人去修某条路，工作2天后抽调走30名工人，又工作了5天后再抽调走20名工人，总共用时12天修完。如整条路希望在10天内修完，且中途不得增减人手，则要安排多少名工人？（ ）
A．80
B．90
C．100
D．120
【例2】某农场有36台收割机，要收割完所有的麦子需要14天时间。现收割了7天后增加4台收割机，并通过技术改造使每台机器的效率提升5%，问收割完所有的麦子还需要几天？（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【作业A2】三个工程队完成一项工程，每天两队工作、一队轮休，最后耗时13天整完成了这项工程。问如果不轮休，三个工程队一起工作，将在几天内完成这项工程？（ ）
A．6天
B．7天
C．8天
D．9天
【作业B1】工程队接到一项工程，投入80台挖掘机。如连续工作30天，每天工作10小时，正好按期完成。但施工过程中遭遇大暴雨，有10天时间无法施工。工期还剩8天时，工程队增派70台挖掘机并加班施工。问工程队若想按期完成，平均每天需多工作多少个小时？（ ）
A．1.5
B．2
C．2.5
D．3
【作业B2】某工厂与订货商签订合同，约定订货商在订单生产完成50%和80%的时候分别支付两笔货款。在派6名工人生产4天后，完成了订单的8%。如增派9名工人加入生产，则订货商在支付第一笔和第二笔货款间的时间间隔为多少天？（假定所有工人工作效率相同）（ ）
A．6
B．10
C．12
D．15
（注意：这里问的是第一和第二的间隔，这个区间的时候已经是15人在干活了，我们就不用考虑之前增派人数的时间变化问题）
最值问题①（至少+保证）
笔记整理：
最不利构造
题干特征：至少+保证
解题思路：
①找到保证要完成什么事，目标：把他气死
②“气死”之后+1即为答案
至于怎么“气死”：
1.想要什么别给什么；
2想要N，先给（达到）N-1；
3.不需要的东西统统都给。
【例1】一个袋内有100个球，其中有红球28个、绿球20个、黄球12个、蓝球20个、白球10个、黑球10个。现在从袋中任意摸球出来，如果要使摸出的球中，至少有15个球的颜色相同，问至少要摸出几个球才能保证满足上述要求？（ ）
A．78个
B．77个
C．75个
D．68个
【例3】某单位组织党员参加党史、党风廉政建设、科学发展观和业务能力四项培训，要求每名党员参加且只参加其中的两项。无论如何安排，都有至少5名党员参加的培训完全相同。问该单位至少有多少名党员？（ ）
A．17
B．21
C．25
D．29
【作业A2】在2011年世界产权组织公布的公司全球专利申请排名中，中国中兴公司提交了2826项专利申请，日本松下公司申请了2463项，中国华为公司申请了1831项，分别排名前3位，从这三个公司申请的专利中至少拿出多少项专利，才能保证拿出的专利一定有2110项是同一公司申请的专利？（ ）
A．6049
B．6050
C．6327
D．6328
（典型的想要什么先不给，先给其他的给满了，再+1）
【作业B1】某个社区老年协会的会员都在象棋、围棋、太极拳、交谊舞和乐器五个兴趣班中报名了至少一项。如果要在老年协会中随机抽取会员进行调查，至少要调查多少个样本才能保证样本中有4名会员报的兴趣班完全相同？（ ）
A．93
B．94
C．96
D．97
【作业B2】某单位五个处室分别有职工5、8、18、21和22人，现有一项工作要从该单位随机抽调若干人，问至少要抽调多少人，才能保证抽调的人中一定有两个处室的人数和超过15人？（ ）
A．34
B．35
C．36
D．37
最值问题②（构造数列）
笔记整理：
题型识别：
N件物品分成M项，求其中某一项的最值（最大值或最小值）。
解题思路：
①编号：分成几项即依次编号为①②③④……
②求谁设谁
③按照题目要求完成构造、利用总和为定值列方程求解
【例3】某单位2011年招聘了65名毕业生，拟分配到该单位的7个不同部门。假设行政部门分得的毕业生人数比其他部门都多，问行政部分得的毕业生人数至少为多少名？（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
作业A1】在一次竞标中，评标小组对参加竞标的公司进行评分，满分120分。按得分排名，前5名的平均分为115分，且得分是互不相同的整数，则第三名得分至少是（ ）。
A.112分
B.113分
C.115分
D.116分
【作业B2】有100人参加五项活动，参加人数最多的活动的人数不超过参加人数最少的活动人数的两倍，问参加人数最少的活动最少有多少人参加？（ ）
A.10
B.11
C.12
D.13
最值问题③（多集合反向构造）
多集合问题：（反向、求和、做差）
解题思路：反向、求和、做差。（－、＋、－）
【作业B1】共有100个人参加某公司的招聘考试，考试的内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对。答对3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过这次考试？( )
A．30
B．55
C．70
D．74
(这个题其实就是求最多不能通过的人数,由题目退出一共有90个题没人答对,那么如果人均错三个,那不通过的人是最多的.)
(所以用90/3,错哪个题其实无所谓的)
【作业B2】书法大赛的观众对5幅作品进行不记名投票。每张选票都可以选择5幅作品中的任意一幅或多幅，但只有在选择不超过2幅作品时才为有效票。5幅作品的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的69%、63%、44%、58%和56%。问本次投票的有效率最高可能为多少？（ ）
A．65%
B．70%
C．75%
D．80%
集合容斥——两集合、三集合基本公式型
两集合标准公式：总数－两者都不=A+B－AB
三集合标准公式：总数－三者都不=A+B+C－AB－AC－BC+ABC
三集合变形公式：总数－三者都不=A+B+C－同时两者-2ABC
什么时候需要画图：出现“只”满足某一个
如何画图标数：从中心向外侧
(同时满足两者的情况)
【作业A2】运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？（ ）
A．46
B．47
C．53
D．54
【作业B1】一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点？（ ）
A．29
B．31
C．35
D．37
【作业B2】工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？（ ）
A．24
B．27
C．30
D．33
【例1】某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人？（ ）
A．1人
B．2人
C．3人
D．5人
(年份能够被4整除,就是366天,闰年)
(但是整100的年份,例如2100,2000,就要用400去除,才能看出)
【例3】2010年2月15日后第80天的日期是（ ）。
A.5月5日
B.5月6日
C.5月3日
D.5月4日
如果是计算星期几的问题:
(计算天数,所有的天数加起来除7,得到的余数,然后星期n+余数)
【例4】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知，某年8月份有22个工作日，那么当年的8月1日可能是（ ）。
A.周一或周三
B.周三或周日
C.周一或周四
D.周四或周日
【作业A1】甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次，如果5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在图书馆相遇是几月几号？（ ）
A．10月18日
B．10月14日
C．11月18日
D．11月14日
(13+31+30+31+31+30+31+x)
【作业A2】从A市到B市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年2月最后一天是星期三。问当年从A市到B市的最后一次航班是星期几出发的？（ ）
A．星期一
B．星期二
C．星期三
D．星期五
余数同余（完整版）
余同取余，
合同加和，
n/3..2 n/4..1 发现3+2=4+1 合同,因此就是12n+5
差同减差。
最小公倍数作周期。
识别特征：①除以几余几，除以几余几；或者②平均分成几组，剩几个或者差几个，平均分成几组，剩几个或者差几个。
例如 n/3..1 n/4..1 因此有 (原数 = 12n+1)
例如 n/3..1 n/4..1 n/5..2 因此先做前两个,12n+1 用这个去试下n/5,看看余数是不是2,然后得出第一项是37=12*3+1
三个人的公倍数 3 4 5 = 60
因此有 原数= 60n+37
【作业A1】三位数的自然数P满足：除以7余2，除以6余2，余以5也余2，则符合条件的自然数P有（ ）。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
【作业A2】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，那么这个数是多少？（ ）
A.118
B.140
C.153
D.162
【作业B1】（2018浙江）某次比赛报名参赛者有213人，但实际参赛人数不足200。主办方安排车辆时，每5人坐一辆车，最后多2人；安排就餐时，每8人坐一桌，最后多7人；分组比赛时，每7人一组，最后多6人。问未参赛人数占报名人数的比重在以下哪个范围内？（ ）
A．低于20%
B．20%～25%之间
C．25%～30%之间
D．高于30%
(这里后两项是差同,所以我们可以通过后两项来初步定总人数)得到56N-1,然后再一个个尝试,最后得到符合第一项的/5..2
牛吃草问题(边用边减少问题)
识别方式：“边吃边长（减少）”
识别方式2：已知条件读起来朗朗上口，一组排比句，NTNT（几头牛吃几天，几头牛吃几天）
常见类型：吃草、抽水、吃人（排队检票售票）、资源开采、上下扶梯等
核心公式：y=(N-x)×T
N：数量（牛）
T：时间
y：原有量
x：每单位时间的新增量（增长速度）
【作业A1】有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完？（ ）
A．10小时
B．9小时
C．8小时
D．7小时
【作业A2】某水库共有10个泄洪闸，当10个泄洪闸全部打开时，8小时可将水位由警戒水位降至安全水位；只打开6个泄洪闸时，这个过程为24个小时，如水库每小时的入库量稳定，问如果打开8个泄洪闸时，需要多少小时可将水位降至安全水位？（ ）
A．10
B．12
C．14
D．16
【作业A2】药厂使用电动研磨器将一批晒干的中药磨成药粉，厂长决定从上午10点开始，增加若干台手动研磨器进行辅助作业，他估算若增加2台，可在晚上8点完成，若增加8台，可在下午6点完成。问如果希望下午3点完成，需增加多少台手动研磨器？（ ）
A．20
B．24
C．26
D．32
【作业B1】由于连日暴雨，某水库水位急剧上升，逼近警戒水位。假设每天降雨量一致，若打开2个水闸放水，则3天后正好到达警戒水位；若打开3个水闸放水，则4天后正好到达警戒水位。气象台预报，大雨还将持续七天，流入水库的水量将比之前多20%。若不考虑水的蒸发、渗透和流失，则至少打开几个水闸，才能保证接下来的七天都不会到达警戒水位？（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
数量关系中的一笔画
笔记整理：
题干特征：给定图形，要求走完图形的每一条边，求最短
方法步骤：
①确定图形的奇点数
②连线
未指定起点时：通过连接图形中的已有线段，将奇点数降到2个（原图奇点数小于等于2则不用连线）。（连接的线段应尽量短）
指定起点时：若指定的起点为奇点，则连线方法同上；指定的起点为偶点时，则需要将奇点数降为0个。
③计算
计算原图形所有线段总长度+连接的线段的长度
【例1】（2014黑龙江）某公园的道路由如下所示的5个正六边形组成，每个六边形每条边的长度都是100米，保安员从道路上某一点出发巡视完所有的道路至少要走多少米？（ ）
A.2600
B.2800
C.3000
D.2300
(一笔画问题,上面一共有八个奇点,那么我们用粗线段掩盖掉几个,剩下两个=可以一笔画)
(上面掩盖的三个可以重复走,要走多3段线段路程)
【作业A1】（2016山东）一块由两个正三角形拼成的菱形土地ABCD周长为800米，土地周围和中间的道路如下图所示，其中DE、BF分别与AB和CD垂直。 如要从该土地上任何一点出发走完每一段道路，问需要行进的距离最少是多少米？（ ）
植树方阵类专项练习
植树方阵类公式：
1.单边直线型：棵树=总长÷间隔＋1
2.单边楼间型：棵树=总长÷间隔－1
3.环形植树公式：棵树=总长÷间隔
【例3】某条道路的一侧种植了25棵杨树，其中道路两端各种有一棵，且所有相邻的树距离相等。现在需要增种10棵树，且通过移动一部分树（不含首尾两棵）使所有相邻的树距离相等，则这25棵树中有多少棵不需要移动位置（ ）。
A．3
B．4
C．5
D．6
（这种题的方法就是找间隔的长度，假设分别是24和17，然后找公倍数--最小2*12*17，然后就算24和17在公倍数范围里面可以有多少个）
【作业A1】某单位两座办公楼之间有一条长204米的道路，在道路起点的两侧和终点的两侧已栽种了一棵树。现在要在这条路的两侧栽种更多的树，使每一侧每两棵树之间的间隔不多于12米。如栽种每棵树需要50元人工费，则为完成栽种工作，在人工费这一项至少需要做多少预算？（ ）
A．800
B．1600
C．1700
D．1800
【作业A2】某条道路进行灯光增亮工程，原来间隔35米的路灯一共有21盏，现要将路灯的间隔缩短为25米，那么有（ ）盏路灯无需移动。
A．2
B．3
C．4
D．5
（这里注意题目的坑点，有21个路灯，但是要包括前后的两个固定，所以中间只有19个路灯，就是分成20段）
方阵问题3个结论：
N阶方阵总人数N×N
最外层人数4N－4
相邻两圈相差8人
【作业A3】有一队士兵排成若干层的中空方阵，外层人数共有60人，中间一层共有44人，则该方阵士兵的总人数是（ ）。
A．156人
B．210人
C．220人
D．280人
【作业B1】施工队要在一东西长600米的礼堂顶部沿东西方向安装一排吊灯，根据施工要求，必须在距西墙375米处安装一盏，并且各吊灯在东西墙之间均匀排列（墙角不能装灯）。该施工队至少需要安装多少盏吊灯？
A．6
B．7
C．8
D．9
(最大公约数)