最短路径问题-Floyd算法

概念

最短路径也是图的一个应用，即寻找图中某两个顶点的最短路径长度。

实际应用：例如确定某两个城市间的坐火车最短行车路线长度等。

Floyd algorithm

中文名就是弗洛伊德算法。

算法思路：用邻接矩阵来存储图的结构，edge[i][j]表示从结点i到结点j的最短路径长度，那么该如何计算edge[i][j]呢?首先我们可以假设当前的edge[i][j]不是最短的路径长度，必须经过k结点，比较edge[i][i]与edge[i][k]+edge[k][j]的大小（其中k的取值为所有点的编号），如果前者小，则表明i到j的最短路径为当前的edge[i][j]；如果后者小，那么就需要修改当前的edge[i][j]，使得edge[i][i]=edge[i][k]+edge[k][j]。

ok，下面用代码表示一下：

for (int k = 1; k <= n; k++)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                if (edge[i][k] == MAX || edge[k][j] == MAX)
                    continue;
                if (edge[i][j] == MAX || edge[i][k] + edge[k][j] < edge[i][j])
                    edge[i][j] = edge[i][k] + edge[k][j];
            }
        }
    }

上面的三层循环就是Floyd算法的核心内容，其时间复杂度为O(n3)。

Floyd算法特点

1、时间复杂度按为O(n3)，所以要求被求解的图的顶点个数不能大于200个，否则容易超时。

2、利用二维矩阵来进行存储图的结构，并进行相关计算。

3、算法结束后，图中所有结点之间的最短路径也被计算完成。可以查询到任意两点间的最短距离。

与迪杰斯特拉算法比较一下，前者主要是求图中某一顶点到其余各顶点的最短路径，后者主要是求图中任意两点间的最短路径。在实际应用中要学会灵活应用。