合并类动态规划，石子归并，合并石子解题报告

石子归并问题

1：任意版
有N堆石子，现要将石子有序的合并成一堆，规定如下：每次只能移动任意的2堆石子合并，合并花费为将的一堆石子的数量。设计一个算法，将这N堆石子合并成一堆的总花费最小（或最大）。
此类问题比较简单，就是哈夫曼编码的变形，用贪心算法即可求得最优解。即每次选两堆最少的，合并成新的一堆，直到只剩一堆为止。证明过程可以参考哈夫曼的证明过程。

2.链式归并

问题描述

设有N堆沙子排成一排，其编号为1,2,3,…,N(N<=100)。每堆沙子有一定的数量。现要将N堆沙子并成为一堆。归并的过程只能每次将相邻的两堆沙子堆成一堆，这样经过N-1次归并后成为一堆。找出一种合理的归并方法，使总的代价最小。

例如：有3堆沙子，数量分别为13,7,8，有两种合并方案，

第一种方案：先合并1,2号堆，合并后的新堆沙子数量为20，本次合并代价为20，再拿新堆与第3堆沙子合并，合并后的沙子数量为28，本次合并代价为28，将3堆沙子合并到一起的总代价为第一次合并代价20加上第二次合并代价28，即48；

第二种方案：先合并2,3号堆，合并后的新堆沙子数量为15，本次合并代价为15，再拿新堆与第1堆沙子合并，合并后的沙子数量为28，本次合并代价为28，将3堆沙子合并到一起的总代价为第一次合并代价15加上第二次合并代价28，即43；

采用第二种方案可取得最小总代价，值为43。

【输入格式】

    输入由若干行组成，第一行有一个整数，n（1≤n≤100）；表示沙子堆数。第2至m+1行是每堆沙子的数量。 

【输出格式】

    一个整数，归并的最小代价。

【输入样例】

输入文件名：shizi.in

7
13
7
8
16
21
4
18

【输出样例】

输出文件名：shizi.out

239

---

矩阵连乘与这类问题非常相似。矩阵连乘每次也是合并相邻两个矩阵（只是计算方式不同）。那么石子合并问题可用矩阵连乘的方法来解决。
那么最优子结构是什么呢？如果有N堆，第一次操作肯定是从n-1个对中选取一对进行合并，第二次从n-2对中选取一对进行合并，以此类推……

求出w的前缀和s,s[0]设为0,s[i]表示w[1]+w[2]+...+w[i],这样的话w[i]+w[i+1]+...+w[j]就是s[j]-s[i-1].

f[i][j]表示从第i堆合并到第j堆的最小代价,则f[i][j] = min(f[i][k]+f[k+1][j]+s[j]-s[i-1])(i<=k<j),f[i][j]初始设置为

INT_MAX.

三层循环,最外层枚举一串合并的长度len,最小是2堆石子合并,最大是n堆.

然后枚举i,那么j就是i+len-1,在i和j之间枚举破点k,比较.

DP 过程：

阶段：以归并石子的长度为阶段，一共有n-1个阶段。
状态：每个阶段有多少堆石子要归并，当归并长度为2时，有n-1个状态；
当归并长度为3时，有n-2个状态；
当归并长度为n时，有1个状态。
决策：当归并长度为2时，有1个决策；当归并长度为3时，有2个决策；
当归并长度为n时，有n-1个决策。

#include <iostream>   
using namespace std;
#define M 101
#define INF 1000000000
int n,f[M][M],sum[M][M],stone[M];
int main()
{
    int i,j,k,t;
    cin>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&stone[i]);

    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][i]=0;
        sum[i][i]=stone[i];
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            sum[i][j]=sum[i][j-1]+stone[j];
    }

    for(int len=2;len<=n;len++)//归并的石子长度
    {
        for(i=1;i<=n-len+1;i++)//i为起点，j为终点
        {
            j=i+len-1;       //由于len,表示有len个石子进行归并,从i开始，由于只有相邻的石子才能合并,所以结束位置j=i+len-1
            f[i][j]=INF;    //初始值都置为无穷大
            for(k=i;k<=j-1;k++)  //中间断开位置，查找在[i,j]什么位置设置断点k，f[i][j]取最优值
            {
                if(f[i][j]>f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j])
                    f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j];
            }
        }
    }
    printf("%d/n",f[1][n]);  
    return 0;
}

三：圆形版

如果石子是排成圆形，其余条件不变，那么最优值又是什么呢？

【题目描述】

在一个圆形操场的四周摆放N堆石子,现要将石子有次序地合并成一堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的一堆，并将新的一堆的石子数，记为该次合并的得分。 试设计出1个算法,计算出将N堆石子合并成1堆的最小得分和最大得分.

【输入格式】

数据的第1行试正整数N,1≤N≤100,表示有N堆石子.第2行有N个数,分别表示每堆石子的个数.

【输出格式】

 输出共2行,第1行为最小得分,第2行为最大得分

【样例输入】

4 

4 4 5 9

【样例输出】

43

54

【来源】

hzoi

因为圆形是首尾相接的，初一想，似乎与直线排列完全成了两个不同的问题。因为每次合并后我们都要考虑最后一个与第一个的合并关系。直线版的最优子结构不见了。f(i, j)表示i—>j合并的最优值似乎并不可行，因为我们可以得到的最优值第一步就是第一个与最后一个合并，那么f(i, j)并不能表示这种关系。
修改一下，f(i, j)表示从第i个开始，合并后面j个得到的最优值。sum(i, j)表示从第i个开始直到i+j个的数量和。那么这个问题就得到解决了。注意要把其看成环形，即在有限域内的合并。

递推公式如下：

#include <cstdlib>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define  MAXN 100
int sum[MAXN];
int mins[MAXN][MAXN], maxs[MAXN][MAXN];
int INT_MAX=999999999;
int n, stone[MAXN];

int sums(int i, int j) {
	if(i + j >= n) {
		return sums(i, n - i - 1) + sums(0, (i + j) % n);
	} else {
		return sum[i + j] - (i > 0 ? sum[i - 1] : 0);
	}
}

void getBest(int& minnum, int& maxnum) {
	//初始化，没有合并，花费为0
	for(int i = 0; i < n; ++i) {
		mins[i][0] = maxs[i][0] = 0;
	}
	//还需进行合并次数
	for(int j = 1; j < n; ++j) {
		for(int i = 0; i < n; ++i) {
			mins[i][j] = INT_MAX;
			maxs[i][j] = 0;
			for(int k = 0; k < j; ++k) {
	mins[i][j] = min(mins[i][k] + mins[(i + k + 1)%n][j - k - 1] + sums(i, j), mins[i][j]);
	maxs[i][j] = max(maxs[i][k] + maxs[(i + k + 1)%n][j - k - 1] + sums(i, j), maxs[i][j]);
				
			}
		}
	}
	minnum = mins[0][n - 1];
	maxnum = maxs[0][n - 1];
	for(int i = 0; i < n; ++i) {
		minnum = min(minnum, mins[i][n - 1]);
		maxnum = max(maxnum, maxs[i][n - 1]);
	}
	
}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; ++i)
		scanf("%d", &stone[i]);

	sum[0] = stone[0];
	for(int i = 1; i < n; ++i) {
		sum[i] = sum[i - 1] + stone[i];
	}
	int minnum, maxnum;
	getBest(minnum, maxnum);
	printf("%d/n%d/n", minnum, maxnum);
	return 0;
}

环形DP解题思路2：

对于线性的合并石子问题，dp模型类似于“加括号”那类型的dp题目，设 f(i, j)为 将第i项到第j项合并得到的最优解 
关键是，这题目是环形的。环形结构，经常采用双倍长度线性化手段，也就是说，把环形结构看成是长度为环的两倍的线性结构来处理。 
环的长度是N，所以题目相当于有一排石子1....N+1....N，然后就可以用线性的石子合并问题的方法做了。 
有个要注意的地方，f(i, j) 总是与 f(N +ｉ, N +j) 相等的，所以可以减少一些不必要的计算。 

此题的关键在于化环为线性结构，与N个数围成一圈，连续多少个数的最大和，异曲同工。

将N结构的线性表，转换为双倍长度的2N结构的线性表，然后在2N长度的表中，截取我们需要的长度为N的部分就可以了。

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <limits.h>
using namespace std;
int dpx[1100][110],p[1100][1100],s[1100],dp[1100][1100];
int anx,any;
int main()
{
   int n;
   while(cin>>n)
   {
       memset(p,0,sizeof(p));
       for(int i=1;i<=n;i++)
       {
           cin>>s[i];
           s[n+i]=s[i];
       }
       for(int i=1;i<=2*n;i++)
        {
            p[i][i]=s[i];
            for(int j=i+1;j<=2*n;j++)
                p[i][j]=p[i][j-1]+s[j];
        }
       memset(dp,0,sizeof(dp));
       for(int r=1;r<n;r++)     //r 表示待合并进来的石子个数
       {
           for(int i=1;i<=2*n-r;i++) //i表示合并石子，起始位置
           {
               int j=r+i;      //j表示要合并r个石子，合并序列结束的位置
               dpx[i][j]=INT_MAX;  //初始化
               for(int k=i;k<j;k++)
               {
                   dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i][j]);
                   dpx[i][j]=min(dpx[i][j],dpx[i][k]+dpx[k+1][j]+p[i][j]);
               }

           }
       }
       anx=0;
       any=INT_MAX;
       for(int i=1;i<=n;i++) //2N堆中，求解所有长度为N的连续序列合并最大，最小值
       {
          anx=max(anx,dp[i][n+i-1]);
          any=min(any,dpx[i][n+i-1]);

       }
       printf("%d
",any);
       printf("%d
",anx);
   }
   return 0;
}