给定一堆方程,代表
[egin{cases}
xequiv a_i pmod{m_i}
end{cases}
]
其中,m两两互质
那么
[x=sum_{i=1}^n a_it_iM_i
]
其中
[M=prod_{i=1}^n m_i
]
[M_i=frac{M}{m_i}
]
[t_i是M_i在mod space m_i下的逆元
]
证明
很显然
[M_iequiv 0 pmod{m_j} (j
e i)
]
所以我们只要证明
[a_it_iM_i equiv a_i pmod{m_i}
]
[ecause t_i是M_i在mod space m_i下的逆元
]
[即t_iM_iequiv 1 pmod{m_i}
]
[ herefore a_it_iM_iequiv a_i pmod{m_i}
]
[ herefore x=sum_{i=1}^n a_it_iM_i
]
[这只是一个特解
]
[但是我们很显然知道他有一个解系
]
[ecause Mequiv 0pmod{m_i}
]
[ herefore 我们不管加多少M都满足方程
]
[ herefore 解系为{x+My,yin Z}
]