关于二维二项式反演的正确性

前言

我第一次看到这个idea是神 (Fuyuki) 去年6月份的时候出了一套题目，里面用到了这个东西，不过他当时没有给出证明。后来看到了 (boshi) 在 (Mina) 上发的计数合集，里面证明了这玩意儿的正确性，我个人认为还是一个非常妙的东西，所以专门开个坑记录一下。

柿子

[ ext{if} quad f_{n,m}=sum_{i=0}^{n} sum_{j=0}^{m}(inom{n}{i} inom{m}{j}g_{i,j}) \ ext{then} quad g_{n,m}=sum_{i=0}^{n} sum_{j=0}^{m}((-1)^{(n+m-i-j)}inom{n}{i} inom{m}{j}f_{i,j}) \ ]

proof

(step 1:) 变成能二项式反演的形式
令 (F_{i}=f_{i,m}) ,(G_{i}=sum_{j=0}^{m} inom{m}{j} g_{i,j})
原式变为 (F_n=sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}G_i)
直接反演一波 (G_n=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}inom{n}{i}F_i)
再展开回去 (sum_{j=0}^{m} inom{m}{j} g_{n,j}=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}inom{n}{i}f_{i,m})
注意，第一步是把 (m) 视为了一个常量。

(step 2:) 再二项式反演一遍
令 (F_{i}=sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}inom{n}{j}f_{j,i}) , (G_{i}= g_{n,i})
原式变为 (F_m=sum_{i=0}^{m}inom{m}{i}G_i)
直接反演一波 (G_m=sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}inom{m}{i}F_i)
再展开回去 (g_{n,m}=sum_{i=0}^{m}(-1)^{m-i}inom{m}{i}sum_{j=0}^{n}(-1)^{n-j}inom{n}{j}f_{j,i})
(i,j) 互换（就是换个名字，看起来比较亲切）(g_{n,m}=sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}inom{n}{i}sum_{j=0}^{m}(-1)^{m-j}inom{m}{j}f_{i,j})
整理一下，求和符号提前，就是开头的柿子力！