无向图求点割集的算法

http://blog.csdn.net/xinghongduo/article/details/6202646

黑书上给出了关于求点割集的算法，但是比较模糊，我查阅了网络上的相关资料，理解了求点割集的过程，写出如下求点割集的代码,并写了一些简单的证明.
 
割点集的定义：如果在连通图G中去掉某一点后图不连通，那么这个点即为G的割点，所有割点的集合即为点割集。
 
求点割集的方法：利用tarjan算法的思想，用数组dfn[v]存储DFS遍历到点v的时间,数组low[v]存储点v能追溯到最早的祖先节点。
如果对于点v来说有如下结论：
 
 
1.如果点v是DFS序列的根节点，则如果v有一个以上的孩子，则v是一个割点。
2.如果v不是DFS序列根节点，并且点v的任意后继u能追溯到最早的祖先节点low[u]>=dfn[v]，则v是一个割点。
 
 
证明1:
  
       假设DFS遍历的第一个节点v不是割点，那么则有low[v]=dfn[v]=1，继续对v的孩子节点u遍历，必然有low[u]>=dfn[v]，按照第二条性质，则v是割点，但我们已经假设v不是割点。这是由于v是DFS遍历的起始节点，在遍历序列中v没有祖先节点，v的所有后继节点能追溯到最早的祖先节点最多也就是v了，不可能比v再早了，因此必须把DFS遍历的第一个节点v单独考虑，那么怎么判断v是不是割点呢？

      例如上图，设v是DFS序列访问的第一个节点，对v的孩子节点u和u的所有孩子节点进行DFS遍历并标记为已经访问后，如果v的另一个孩子节点k没有被标记为已经访问，那么u和k之间一定不存在边，也就是说u和k之间的连通必然需要点v，因此如果v是DFS遍历的第一个节点，对v是否为割点的判断方法是：看v是不是有多个孩子，如果有则v是割点。
证明2:
      如果v不是DFS遍历的第一个节点，那么对于v的所有后继节点来说，如果v不是割点（也就是如果删掉点v，剩下的图还是连通图），那么v的后继节点必然能追溯到DFS遍历序列中v的祖先节点，也就是v的后继节点中存在到达DFS序列中v的祖先的路径，因此当DFS回溯到v节点时对于v的所有后继节点u来说，都有low[u]<dfn[v]。
      如果v是一个割点，对所有v的后继节点u进行DFS后，必然有low[u]>=dfn[v]，这是因为，当遍历v并将其锁定后，到达v的祖先节点的路径已经被封死，v的后继节点必然不可能访问到v的祖先节点，因此，必然有low[u]>=dfn[v]。
 
 
有了上面的分析，下面写出求无向图点割集的代码：
 
 #include<iostream>
using namespace std;

struct L
{
	int v;	L *next;
};

class HEAD
{
public:
	int id;	L *next;
	HEAD(){	id=0;	next=NULL;}
};


HEAD head[1000];  int dfn[1000],low[1000],t;     bool lock[1000],C[1000];


void find(int father,int v)
{
    int count=0;			/*统计v的孩子数*/
	dfn[v]=low[v]=++t;     /*将访问时间赋给dfn[v]和low[v]*/
	lock[v]=false;      /*标记v点已经访问过,不能再被访问*/
	for(L *p=head[v].next;p!=NULL;p=p->next)
	{
		if(lock[p->v])  /*如果v的直接后继节点没有访问过，则对其遍历*/
		{
			find(v,p->v);  /*对v的直接后继遍历*/
			count++;        /* 孩子数+1 */
			if(low[v]>low[p->v])  /*如果v的孩子能追溯到更早的祖先,则v也能追溯到*/
				low[v]=low[p->v];
		}
		else if(p->v!=father&&low[p->v]<low[v])  /*如果v的直接孩子节点已经被访问过*/
			low[v]=low[p->v];

		if(!father&&count>1)		/*如果当前节点是DFS遍历到的第一个节点,则判断其是否有多个孩子*/
			C[v]=true;
		else if(father&&dfn[v]<=low[p->v])   /*否则判断其后继能否追溯到v的祖先*/
			C[v]=true;
	}
}


int main()
{
	int n,i,a,b;
	cin>>n;
	
	while(cin>>a>>b&&a&&b)		/*建立邻接表,输入无向图边每条a b,以0 0结束*/
	{
		L *p=new L;
		p->next=head[b].next;
		head[b].next=p;
		p->v=a;
		p=new L;
		p->next=head[a].next;
		head[a].next=p;
		p->v=b;
		head[b].id++;
		head[a].id++;
	}
	memset(lock,true,sizeof(lock));
	memset(dfn,0,sizeof(int)*1000);
	memset(C,0,sizeof(C));  /*C数组用来标记那些点是割点,刚开始全部置为false*/
	t=0;   /*访问时间*/
	find(0,1);/*开始对1号点DFS,第一个遍历的前驱节点设为0*/
	for(i=1;i<=n;i++)		/*输入割点*/
		if(C[i])
			cout<<i<<' ';
		cout<<endl;
		
}