笔记来源：中国大学MOOC王道考研
一、概念
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连通图：图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图
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生成树：连通图包含全部顶点的一个极小连通子图
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最小生成树：在含有n个顶点的带权无向连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树（不一定唯一）。
- 性质1：不一定唯一
- 性质2：如果所有边的权重都不相同，则一定唯一
- 性质3：如果连通图只有n-1条边，则最小生成树就是它本身
- 性质4：最小生成树的边数为n-1
二、算法
2.1 Prim算法
步骤如下：
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初始化，取任意顶点加入结果树：
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加入A相邻的且不在结果树中，并且是最小权值的点C
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加入与A，C相邻的且不在结果树中，并且是最小权值的点B（BC最小）
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重复上述步骤，直到所有顶点都进入结果树：
java代码实现如下：
我们需要用两个数组来实现过程：
- min_weight[n]：当前结果树到所有顶点的最短距离
- adjvex[n]：adjvex[C]=0，代表C是通过A加入结果树的（0是A的下标）
/*
* 首先我们给出图的存储结构
*/
package MST;
import java.util.List;
public class Graph {
/*
* 点的存储
*/
private List<String> vex;
/*
* 边的存储
*/
private int edges[][];
public Graph(List<String> vex, int[][] edges) {
this.vex = vex;
this.edges = edges;
}
public List<String> getVex() {
return vex;
}
public void setVex(List<String> vex) {
this.vex = vex;
}
public int[][] getEdges() {
return edges;
}
public void setEdges(int edges[][]) {
this.edges = edges;
}
public int getVexNum() {
return vex.size();
}
public int getEdgeNum() {
return edges.length;
}
}
然后初始化图：
public class Prime {
int m = Integer.MAX_VALUE;
int[][] edges = {
{0, 3, 1, m, 4},
{3, 0, 2, m, m},
{1, 2, 0, 5, 6},
{m, m, 5, 0, m},
{4, m, 6, m, 0},
};
//打印最小生成树
void MST_Prime(Graph G) {
int vexNum = G.getVexNum();//节点个数
int[] min_weight = new int[vexNum];//当前结果树到所有顶点的最短距离
int[] adjvex = new int[vexNum];//adjvex[C]=0，代表C是通过A加入结果树的（0是A的下标）
/*初始化两个辅助数组*/
for(int i = 0; i < vexNum; i++) {
min_weight[i] = (G.getEdges())[0][i];//第一个顶点到其余顶点的距离
adjvex[i]=0;
}
int min_edg;//当前挑选的最小权值
int min_vex = 0;//最小权值对应的节点下标
/*循环剩余n-1个点*/
for(int i = 1; i < vexNum; i++) {
min_edg = Integer.MAX_VALUE;
for(int j = 1; j < vexNum; j++) {
if(min_weight[j]!=0 && min_weight[j] < min_edg) {
//寻找还没有被挑选进来的，最小权重的点
min_edg = min_weight[j];
min_vex = j;
}
}
min_weight[min_vex] = 0;//纳入结果树
/*修改对应辅助数组的值*/
for(int j = 0; j < vexNum; j++) {
if(min_weight[j]!=0 && (G.getEdges())[min_vex][j]<min_weight[j] && (G.getEdges())[min_vex][j]>0) {
min_weight[j] = (G.getEdges())[min_vex][j];
adjvex[j]=min_vex;
}
}
int pre = adjvex[min_vex];
int end = min_vex;
System.out.println("("+G.getVex().get(pre)+","+G.getVex().get(end)+")");
}
}
//初始化图
Graph init() {
List<String> vex=new ArrayList<String>();
vex.add("A");
vex.add("B");
vex.add("C");
vex.add("D");
vex.add("E");
Graph graph = new Graph(vex, edges);
return graph;
}
public static void main(String[] args) {
Prime prime = new Prime();
Graph graph = prime.init();
prime.MST_Prime(graph);
}
}
打印结果如下：
(A,C)
(C,B)
(A,E)
(C,D)
2.2 Kruskal算法
步骤如下：
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每个顶点都是独立的树
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挑选最短的边AC，加入边集中
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依次加入BC，AB，但是AB构成了回路，舍弃
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重复直到取了n-1条边
java代码实现如下：
使用 并查集、堆排序、kruskal算法
引用并查集博客：Java实现并查集
//首先我们实现并查集（用来判断是否构成回路--是否属于一个并查集）
public class UnionFindSet {
//查询树的根
public static int find(int x, int [] par){
if(par[x] == x){
return x;
}else{
//压缩路径，第二次查询可以直接返回x的根而不用递归
return par[x] = find(par[x], par);
}
}
//合并
public static void unite(int x, int y, int [] par, int [] rank){
x = find(x, par);
y = find(y, par);
if(x == y){
return ;
}
if(rank[x] < rank[y]){
par[x] = y;
}else{
par[y] = x;
if(rank[x] == rank[y]) rank[x]++;
}
}
//判断x和y是否属于同一个集合
public static boolean same(int x, int y, int [] par){
return find(x, par) == find(y, par);
}
}
然后实现堆排序（稍作修改）：
堆排序参考这篇博客：Java实现堆排序和图解
public class HeapSort {
public static void sort(Edge[] arr){
//1.构建大顶堆
for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
//从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
adjustHeap(arr,i,arr.length);
}
//2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调整
}
}
/**
* 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）
* @param arr
* @param i
* @param length
*/
public static void adjustHeap(Edge[] arr,int i,int length){
Edge temp = arr[i];//先取出当前元素i
for(int k=i*2+1;k<length;k=k*2+1){//从i结点的左子结点开始，也就是2i+1处开始
if(k+1<length && arr[k].weight<arr[k+1].weight){//如果左子结点小于右子结点，k指向右子结点
k++;
}
if(arr[k].weight >temp.weight){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
arr[i] = arr[k];
i = k;
}else{
break;
}
}
arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
}
/**
* 交换元素
* @param arr
* @param a
* @param b
*/
public static void swap(Edge[] arr,int a ,int b){
Edge temp=arr[a];
arr[a] = arr[b];
arr[b] = temp;
}
}
最后我们实现Kruskal算法：
package MST;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Kruskal {
int m = Integer.MAX_VALUE;
int[][] arr = {
{0, 3, 1, m, 4},
{3, 0, 2, m, m},
{1, 2, 0, 5, 6},
{m, m, 5, 0, m},
{4, m, 6, m, 0},
};
Graph init() {
List<String> vex=new ArrayList<String>();
vex.add("A");
vex.add("B");
vex.add("C");
vex.add("D");
vex.add("E");
Graph graph = new Graph(vex, arr);
return graph;
}
//kruskal算法
void MST_Kruskal(Graph G, Edge[] edges, int[] parents, int[] rank) {
HeapSort.sort(edges);//堆排序
for(int i = 0; i < G.getEdgeNum(); i++) {
if(!UnionFindSet.same(edges[i].a, edges[i].b, parents)) {
UnionFindSet.unite(edges[i].a, edges[i].b, parents, rank);
System.out.println("("+G.getVex().get(edges[i].a)+","+G.getVex().get(edges[i].b)+")");
}
}
}
public static void main(String[] args) {
Kruskal kruskal = new Kruskal();
Graph graph = kruskal.init();
int[] parents = {0,1,2,3,4};
int[] rank = {1,1,1,1,1};
Edge[] edges = new Edge[10];
int index = 0;
for(int i = 0; i < 5;i++) {
for(int j=0;j<i;j++) {
edges[index] = new Edge();
edges[index].weight = kruskal.arr[i][j];
edges[index].a = i;
edges[index++].b = j;
}
}
kruskal.MST_Kruskal(graph, edges, parents, rank);
}
}
输出结构为：
(C,A)
(C,B)
(E,A)
(D,C)