10. 王道考研-树与二叉树

文章目录

• 一、树的概念
• 二、树的性质
• 三、二叉树
• 3.1 特殊二叉树
• 3.2 二叉树的性质

一、树的概念

树是一种逻辑结构，是n(n>=0)个节点的有限集合，n=0时，称为空树，而任意的非空树满足：
1） 有且仅有一个特定的称为根的节点
2) 当n> 1时，其余结点可分为m (m>0)个互不相交的有限集合，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根结点的子树。

基本术语：

森林是m（m>=0）棵互不相交的树的集合

二、树的性质

1. 树的结点数 = 所有节点的度数+1 = 边数 + 1
2. 度为m的树中第 i 层至多有 m^(i-1)个节点
3. 具有n个结点的m叉树的最小高度为⌈log m( n(m-1)+1) ⌉

三、二叉树

二叉树是n (n≥0) 个结点的有限集合。

1. n=0时，二叉树为空;
2. n>0时，由根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树也分别是一棵二叉树。

3.1 特殊二叉树

1. 满二叉树：一棵高度为h,且含有2^h - 1个结点的二叉树为满二叉树。

1. 完全二叉树：设一个高度为h、有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与高度为

h的满二叉树中编号1 ~n的结点一一对应时， 称为完全二叉树。

1. 二叉排序树：一棵二叉树，若树非空则具有如下性质：对任意结点若存在左子树或右子树，则其左子树上所有结点的关键字均小于该结点，右子树上所有结点的关键字均大于该结点。

2. 平衡二叉树：树上任意结点的左子树和右子树的深度只差不超过1。

3.2 二叉树的性质

• 非空二叉树的 叶子节点数 = 度为2的节点数+1，即 n0 = n2 + 1
• 非空二叉树的第k层至多有2^(k-1)个节点
• 高度为h的二叉树至多有2^h - 1 个节点