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  • 数论学习之乘法逆元

    用法:用于除法取模

    思路:扩欧

    要求:b、p互质

    设k为b的乘法逆元:

    则在求解除法取模问题时:

    有(a/b)%p =>(a*k)%p

    当b很大时,用除法会出现精度问题。。so

    乘法逆元:

    如果b*k ≡ 1 (mod p)

    则称k是b关于p的乘法逆元

    我们可以通过求 b 关于 p 的乘法逆元 k,将 a 乘上 k 再模 p,即 (a * k) mod p。其结果与(a / b) mod p等价。

    证: 
    因为 b * k ≡ 1 (mod p) 
    则有 b * k = p* x+1 
    得到 k = (p * x + 1) / b 
    将 k 代入(a * k) mod p 
    得到: 
    (a * (p * x + 1) / b) mod p 
    =((a * p * x) / b + a / b) mod p 
    =[((a * p * x) / b) mod p +(a / b)] mod p 
    =[(p * (a * x) / b) mod p +(a / b)] mod p 
    =(0 + (a / b)) mod p 
    = (a/b) mod p

    用欧几里得扩展求逆元要求 gcd(b, p) == 1

    求乘法逆元可以用到欧几里得扩展:

    void Euild(ll a, ll b, ll &x, ll &y)  // x 是 a 关于 b 的乘法逆元

    {

        if(0 == b){

            x = 1, y = 0;

            return ;

        }

        Euild(b, a%b, x, y);

        ll flag = x;

        x = y;

        y = flag - a/b * y;

    }

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