loj #6013. 「网络流 24 题」负载平衡

#6013. 「网络流 24 题」负载平衡

题目描述

G 公司有 n nn 个沿铁路运输线环形排列的仓库，每个仓库存储的货物数量不等。如何用最少搬运量可以使 n nn 个仓库的库存数量相同。搬运货物时，只能在相邻的仓库之间搬运。

输入格式

文件的第 1 11 行中有 1 11 个正整数 n nn，表示有 n nn 个仓库。
第 2 22 行中有 n nn 个正整数，表示 n nn 个仓库的库存量。

输出格式

输出最少搬运量。

样例

样例输入

5
17 9 14 16 4

样例输出

11

数据范围与提示

1≤n≤100 1 leq n leq 1001≤n≤100

思路：首先求出平均数，因为物资流动的最终结果是每个仓库的货物数目相同，就是每个仓库货物数目达到平均数。

然后环形仓库可以向两边搬运，所以固定一个方向，就是a[i] - >a[i+1]吧，并记录搬运数量为c[i]。所以c[i]就表示货物由第i个仓库搬到第i+1仓库的数量，负数表示i+1仓库往第i个仓库搬货。然后根据a[i]+c[i]-c[i-1]==m，可以求出每个仓库的货物搬动数量。

接下来就是处理搬运货物的总量最小，就是∑|c[i]| (i=0…n-1)最小。拿回原题意语境中我们可以知道c[i] (i=0,1,2…n-1)是相互影响的，但是它们的相对大小不会改变，所以我们现在可以把问题转化为一个数学题，就是把c[i]固定在一个数轴上，然后确定一个原点，保证绝对值之和最小即可。

然后就可以发现将原点固定在c[0]-c[n]最中间的位置（物理位置中间，就是原点左右两边数目尽可能相同）时绝对值之和时最小的。因为c[i] (i=0,1,2…)是相互影响的，又因相对大小不会改变，所以我们可以把c[0]随便赋一个值，然后就可以把c[i]的相对值都求出来了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define maxn 110
using namespace std;
int a[maxn],c[maxn],n,m;
int main(){
    long long sum=0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
        sum+=a[i];
    }
    m=sum/n;
    c[0]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)c[i]=c[i-1]+a[i]-m;
    sort(c+1,c+n+1);
    int mn=0;
    for(int i=1,j=n;i<j;i++,j--)mn+=c[j]-c[i];
    printf("%d",mn);
    return 0;
}