GCD 及 EXGCD 复习笔记

GCD

目录

• GCD
  • 辗转相除法
    • 证明
    • Code
    • 题
• EXGCD
  • 裴蜀定理
    • 证明
  • exgcd
    • 原理
    • Code
  • 线性同余方程*
    • 母题
    • 例题
      • luogu P1082 MOD
      • [luogu P1516] 青蛙ha的约会
      • [luogu P2421] 荒岛野人

辗转相除法

证明

设实数 (a) 和 (b) ，我们要证明 $$gcd(a,b) == gcd(b,a % b) $$

1. 证明 $gcd(a,b) | (a-b) $

   可以发现，(a==km) ，(b==lm) ，((a-b)==(k-l)m quad(m in N^*)) 。

   而 (gcd(a,b)==m)，易知 $gcd(a,b) | (a-b) $ 。

   同理

   设 (a-b=kp) ，(b=lp) ，那么 (a=(k+l)p) ，所以 (gcd(a-b,b)|a) 。

2. 由 $ 1 $ 可得，(gcd(a,b)) 是 (b,a-b) 的公因数，且 (gcd(a-b,b)) 是 (a,b) 的公因数。由 (gcd) 的定义可知 (gcd(a,b) leq gcd(b,a-b)) 且 (gcd(a,b) geq gcd(b,a-b))即 (gcd(a,b) == gcd(b,a-b))。

3. 而 (a) 重复减去 (b) 其实就是 取模。

Code

很简单，直接贴了。

int gcd(int a,int b){
   return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

• 注意 (gcd) 只能处理正数，负数处理方法见线性同余方程。

• 顺带一提，(lcm)（最小公倍数） ( imes gcd = a imes b)

题

luogu P1029

EXGCD

原理要用到 (gcd) ，但用处和 (gcd) 关联其实不是很大。

裴蜀定理

方程

[ax+by=gcd(a,b) ]

至少有一组整数解。

证明

不难看出问题可以简化成：

[ax+by=gcd(a,b) iff mx+ny=1 ]

其中，(m)、(n) 互质。即证明两个互质的数可以线性组合出 (1) 。

由 (gcd) 的过程我们发现，辗转相除的实质就是更相减损，即用两数加减组合。即两个互质的数可以组合出 (1) （也就是任何数）。

exgcd

根据裴蜀定理，我们知道，对于一个二元一次方程：

[ax+by=c ]

当 (c) 为 (gcd(a,b)) 的整数倍时，方程有整数解。

那么如何解这个方程呢？

原理

当 (gcd(a,b)|c) 时 ，我们将等式两边同除以 (frac{c}{gcd(a,b)})：

[ax+by=c iff a imes frac{x}{c}+b imesfrac{y}{c}=gcd(a,b) ]

设(frac{x}{c}) 和 (frac{y}{c}) 为 (x') 和 (y')，根据 (gcd) 的原理我们知道：

[b imes x''+a\%b imes y''= gcd(b,a\% b)\ implies b imes x''+(a-b imes lfloorfrac{a}{b} floor) imes y''=gcd(b,a\%b)\ implies a imes y''+b imes (x''-lfloorfrac{a}{b} floor imes y'')=gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)\ implies a imes y''+b imes (x''-lfloorfrac{a}{b} floor imes y'')=ax'+by' \ herefore x'=y''qquad y'=x''-lfloorfrac{a}{b} floor imes y'' ]

这样不断递归下去，直到：

[gcd(a,b) imes x'''+0 imes y'''=gcd(a,b)\ herefore x'''=1qquad y'''=0 ]

然后回溯回去求得 (x) 和 (y) 。

Code

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}

线性同余方程*

母题

求解

[ax equiv b (mod p) ]

原式可以如下变换：

[(a imes x)\%p=b\%p iff (a imes x-b)\%p=0\ implies ax+b=py \ implies ax+p(-y)=b ]

这样我们就能用 (exgcd) 求解了。

这里要注意，(exgcd) 求解的是

[ax+p(-y)=gcd(a,p) ]

我们要给求出的解进行处理才行。

下面我们来上题

例题

luogu P1082 MOD

模板啦直接贴代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}

int main()
{
	int a,b;
	int x,y;
	scanf("%d %d",&a,&b);
	//a,b互质 
	exgcd(a,b,x,y);
	printf("%d",((x%b)+b)%b);
	return 0;
}

[luogu P1516] 青蛙ha的约会

1. 题目大意：

求满足 (x+k imes n equiv y+k imes m quad (mod ; l)) 的最小的 (k) 。

2. 推柿子：

[(x+k imes n )\%l = (y+k imes m)\%l\ implies (x-y)+(n-m) imes k=l imes lambda\ implies (m-n) imes k+l imes lambda=x-y ]

然后几乎就转化成裸题辽。

3. 细节

我们发现 (m-n) 可能是负数，但是 (exgcd) 只能处理正数，所以要小小变换一下。因为我们只需要知道 (k) ，就可以这样：

[(m-n) imes k+l imes lambda=x-y iff (n-m) imes k+l imes (-lambda)=y-x ]

4. (Code)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
typedef int int_;
#define int long long
using namespace std;

int n,m,wa,wb,l;

int mod(int o,int p){
	return ((o%p)+p)%p;
}

int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1;y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}



int_ main()
{
	scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&wa,&wb,&n,&m,&l);
	wa=mod(wa,l);wb=mod(wb,l);
	int a=m-n,b=l,c=wa-wb;
    if(a<0){
    	a=-a;
    	c=-c;
	}
	int g=gcd(a,b);
	if(c%g != 0){
		printf("Impossible");
		return 0;
	}
	a/=g;b/=g;c/=g;
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	x*=c;
	x=mod(x,b);
	printf("%lld",x);
	return 0;
}

[luogu P2421] 荒岛野人

1. 题目大意

和上题稍有不同，这题是两两求(c_i+k imes p_i equiv c_j+k imes p_jquad (mod; M)) 在 (min(l_i,l_j)) 内无正整数解。

2. 做法

很简单，只需从小到大枚举(M) ，然后检验每两个人都不会相遇就ok。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 1000000

int n,maxx,c[20],p[20],l[20];

int mod(int o,int M){
	return ((o%M)+M)%M;
}

int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
	}
	else{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y-=(a/b)*x;
	}
}

bool work(int i,int j,int m){
	int a=p[i]-p[j],b=m,d=c[j]-c[i];
	if(a<0){
		a=-a,d=-d;
	}
	int g=gcd(a,b);
	if(d%g != 0){
		return false;
	}
	a/=g,b/=g,d/=g;
	int x,y;
	exgcd(a,b,x,y);
	x*=d;
	x=mod(x,b);
	if(x <= min(l[i],l[j])) return true;
	else return false;
}

bool check(int m){
	for(int i=1;i<n;i++){
		for(int j=i+1;j<=n;j++){
			if(work(i,j,m)){
				return false;
			}
		}
	}
	return true;
}




int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d %d %d",&c[i],&p[i],&l[i]);
		maxx=max(maxx,c[i]);
		c[i]--;
	}
	for(int i=1;i<=maxn;i++){
		if(check(i)){
			printf("%d",max(maxx,i));
			return 0;
		}
	}
	return 0;
}

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