一个思考Exlucas时的错误思路和对CRT的一些理解
小引
此文章是记录一些学习 (Exlucas) 时纠结的问题。
问题的原因是对 (CRT) 的理解不通彻，在此做出一些探讨。
正文
(Exlucas) 的模板问题是求：
[C^{n}_{m}quad(mod;p)
]
其中， (n) ， (m) 很大，不能够直接求阶乘。(p) 大小可接受但是不保证是质数。
扩展的思路是把 (p) 进行质因数分解，然后分别模分解后的 (p_i^k) 再用 (CRT) 组合起来。
我当时刚刚学完 (Lucas) 以为扩展是赤裸裸的 (CRT+Lucas) 就想直接模 (p_i) 不行吗？
并且陷入了这样一个问题：
给定 (x) 满足：
[egin{cases}
xequiv a_1quad(mod;p_1)\
xequiv a_2quad(mod;p_2)\
cdots\
xequiv a_nquad(mod;p_n)\
end{cases}
\
f 和\
m
egin{cases}
xequiv b_1quad(mod;p_1^{k_1})\
xequiv b_2quad(mod;p_2^{k_2})\
cdots\
xequiv b_nquad(mod;p_n^{k_n})\
end{cases}
]
作为前提的 (x) 是一样的，那么 (CRT) 为什么解出来的不同的 (x) 呢。（当时我真的是蠢枯了
现在看来，显而易见，(x) 不是唯一的，而是以所以模数的公倍数 (M) 为间隔的无限个数。
我们求出来的是满足条件的最小正整数解。第一个和第二个的解的关联是这样的：
所以，我们用 (p_i) 那租解出来的和 (p_i^{k_i}) 那组解出来的不是一个，而且也没法（或者我不知道，但是既然 (Exlucas) 还存在，那应该是没有）用其中一个还原另外一个。
所以，必须对 (p_i^{k_i}) 取模，就需要 (Exlucas) 的那些操作了。
(frak by;thorn\_)