四方定理：所有自然数至多只要用四个数的平方和就可以表示。
费马定理：当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
顺序完全N叉树求先祖：a = (a + n - 2) / n。
同余定理：给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。
威尔逊定理：若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。
如：7为质数，则7可整除(7 - 1)! + 1 = 721，即721 % 7 == 0
欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。
欧拉定理：若n,a为正整数，且n,a互素，即gcd(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n), 其中φ(n)为欧拉函数。
如：n = 5, a = 7. 因为与5互质的有1、2、3、4，即φ(5) = 4，则(7 ^ 4) % 5 = 2401 % 5 = 1。
三角形半周长 P=(a+b+c)/2，面积sqrt(P(P-a)(P-b)(P-c))，中线 Ma=sqrt(2(b^2+c^2)-a^2)/2。
数据规模较小时求解，数据规模较大时特判。设L,K为任意自然数，L!=2时在[L,L+2K)区间内必不可能有超过K个素数。L=2时，也只有K=1,2,3时有超过K个素数。总结：遇到素数题不求素数才是基操。
求最小值时注意下限要大于0。
当109级出现乘法，必开long long 。牺牲精度的double范围比long long还大，可解决±261左右规模问题。
三个变量之间存在关系，其中一个由输入确定，必优化成单层循环。
素数筛法
int sqrt_n = sqrt(b);
is_prime[1] = 0;
for (i = 2; i <= b; i++)
is_prime[i] = 1;
for (i = 2; i < sqrt_n; i++)
{
if (is_prime[i])
for (j = i * i; j <= b; j += i)
is_prime[j] = 0;
}
卢卡斯定理：利用模运算快速求出二项式系数C（n,r）,适用于不用模运算就无法求出其结果的、具有非常大的n和r的二项式系数。
LL PowMod(LL a, LL b, LL MOD)
{ //快速幂
LL ret = 1;
while (b)
{
if (b & 1)
ret = (ret * a) % MOD;
a = (a * a) % MOD;
b >>= 1;
}
return ret;
}
LL fac[100005];
LL Get_Fact(LL p)
{ //初始化
fac[0] = 1;
for (int i = 1; i <= p; i++)
fac[i] = (fac[i - 1] * i) % p;
}
LL Lucas(LL n, LL m, LL p)
{ //Lucas 定理
LL ret = 1;
while (n && m)
{
LL a = n % p, b = m % p;
if (a < b)
return 0;
ret = (ret * fac[a] * PowMod(fac[b] * fac[a - b] % p, p - 2, p)) % p;
n /= p;
m /= p;
}
return ret;
}
卡特兰数（Catalan number）是 组合数学 中一个常出现在各种 计数问题 中的 数列。
数列的前几项为：1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862，...
题目描述：
n 个元素进栈序列为：1，2，3，4，...，n，则有多少种出栈序列。
思路：
我们将进栈表示为 +1，出栈表示为 -1，则 1 3 2 的出栈序列可以表示为：+1 -1 +1 +1 -1 -1。
假设非法序列为 A，对应的序列为 B。每个 A 只有一个"第一个前缀和小于 0 的前缀"，所以每个 A 只能产生一个 B。而每个 B 想要还原到 A，就需要找到"第一个前缀和大于 0 的前缀"，显然 B 也只能产生一个 A。
#include <cstdio>
using namespace std;
long long catalan[1000005];
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
catalan[0] = catalan[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
for (int j = 0; j <= i - 1; j++)
catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1];
printf("%lld\n", catalan[n]);
return 0;
}
一段连续自然数异或结果
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define md 1000000007
int yh (int n, int m)
{
if (abs (n - m) < 4)
{
int n0 = min (n, m);
int n1, n2, n3;
if (abs (n - m) < 1)
n1 = 0;
else
n1 = n0 + 1;
if (abs (n - m) < 2)
n2 = 0;
else
n2 = n0 + 2;
if (abs (n - m) < 3)
n3 = 0;
else
n3 = n0 + 3;
return (n0 ^ n1) ^ (n2 ^ n3);
}
return yh (n - 1 - (n - 1) % 4, n - 1) ^yh (m - m % 4, m);
}
int main()
{
int t;
long long int ans = 0;
scanf ("%d", &t);
while (t--)
{
int n, m;
scanf ("%d %d", &n, &m);
ans += yh (n, m) % md;
ans %= md;
}
printf ("%d", ans);
return 0;
}