动态规划4.2——子序列问题

题目上添加了超链接，大家点一下题目就会自动跳转到Poj原题界面~~              冲鸭冲鸭ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ。

前言：

视频讲解链接：https://www.bilibili.com/video/BV1i44y1x7wT?spm_id_from=333.999.0.0

建议大家按随笔顺序阅览，序列型动态规划是常见动态规划类型当中的重点， 占常见动态规划类型里的20%，这里给出的几道题都很经典，大家可以都当作板子抄下来。

动态规划组成部分：

1：确定状态

      —确定最后一步（最优策略）

      —抽象子问题

2：归纳转移方程

3：初始条件和边界情况

4：计算顺序

 

4.2.1 Longest Ordered Subsequence (2533)

题意：在一个给定的数值序列中，找到一个子序列，使得这个子序列元素的数值依次递增，并且这个子序列的长度尽可能地大，子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。

小笔记：最长递增子序列

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1001;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int ans = 1;
    int D[N];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int a[N];
        scanf("%d", &a[i]);
        D[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (a[j] < a[i]) // * 就这儿！
                D[i] = max(D[i], D[j] + 1);
        ans = max(ans, D[i]);
    }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}

　　以上代码求的是最长递增子序列长度，其他情况修改代码中*的位置：

①最长不降子序列长度，改成a[j] ≤ a[i]；

②最长递减子序列长度，改成a[j] > a[i]；

③最长不升子序列长度，改成a[j] ≥ a[i]；

 

4.2.2 Wooden Sticks (1065)

题意：有n个木棍，已知长度和重量，将木棍放在机器上加工。机器的设置时间

①第一个木棍需要1分钟；

②处理的木棍长度为l，重量为w，如果下一个木棍长度l’≤l并且w’≤w，不需要设置时间，否则需要1分钟。

计算处理n个木棍的最少设置时间。

小笔记：最长不上升子序列、偏序、这题也可以贪心解

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 5001;
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        pair<int, int> a[N];
        for (int i = 0; i < n; i++)
            scanf("%d%d", &a[i].first, &a[i].second);
        sort(a, a + n);
        //通过二分查找方法实现最长递减子序列的值
        int k = 0;
        int d[N];
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            int p = -1;
            int r = k;
            while (r - p > 1)
            {
                int mid = (p + r) / 2;
                if (d[mid] > a[i].second)
                    p = mid;
                else
                    r = mid;
            }
            d[r] = a[i].second; //将已经搜索到的子序列保存到d中
            if (r == k)
                k++;
        }
        printf("%d
", k);
    }
    return 0;
}

　　

4.2.3 Alignment (1836)

题意：n个士兵站成一行，队列中任何士兵的某一侧（左侧或者右侧）没有身高大于或者等于他的士兵，他就可以看到队列这一侧的最外面的位置。为了使队列中的每一个士兵都可以看到他某一侧的最外面位置，问最少出列多少士兵可以使剩下的士兵满足这个条件。

小笔记：最长递增子序列

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
int main()
{
    double a[N];
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int L[N], R[N];
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%lf", &a[i]);
        L[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++)
            if (a[j] < a[i])
                L[i] = max(L[i], L[j] + 1);
    }
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
    {
        R[i] = 1;
        for (int j = n - 1; j > i; j--)
            if (a[j] < a[i])
                R[i] = max(R[i], R[j] + 1);
    }
    int ans = 1;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
            ans = max(ans, L[i] + R[j]);
    printf("%d
", n - ans);
    return 0;
}

　　

4.2.4 Maximum sum (2479)

题意：n个整数构成的数列a[1…n]，求d(A)。

小笔记：最大连续子序列和

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 50005;
const int MIN = -10000;
int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        int L[N], R[N];
        L[0] = R[n + 1] = MIN;
        int a[N];
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d", &a[i]);
            L[i + 1] = max(a[i], L[i] + a[i]);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            L[i] = max(L[i - 1], L[i]);
        for (int i = n; i > 0; i--)
            R[i] = max(a[i - 1], R[i + 1] + a[i - 1]);
        for (int i = n; i > 0; i--)
            R[i] = max(R[i + 1], R[i]);
        int ans = MIN;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            ans = max(ans, L[i] + R[i + 1]);
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}

　　

4.2.5To the Max (1050)

题意：一个二维矩阵包含正数和负数，任何连续的矩阵空间构成它的子矩阵，矩阵中所有元素的和称为矩阵的和，求最大的子矩阵和。

小笔记：进阶，最大子矩阵和。按照合适的顺序将求子矩阵的和的计算转化成求子序列的和，在求的过程中记录最大值。

题解：     ①从左到右计算每一行，将Σa[i,1…j]保存到a[i,j]中，这样，任意一段Σa[i,k…j]就可以通过a[i,j]-a[i,k]得到；

②先取1列，计算由1列组成的最大子矩阵和，因为只有1列，相当于求最大的连续子序列和。这里与上一个问题求最大连续子序列和不同，本题的连续子序列必须包含i点，而上题不需要。

③扩展到多列的情况，因为k…j列可以由a[i,j]-a[i,k]得出，依旧是1个值，计算方法和②一样；

④最后扩展到所有列，就找到了最大子矩阵和。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int ans = -128;
    int a[101][101] = {0};
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            int t;
            scanf("%d", &t);
            a[i][j] = a[i][j - 1] + t;
        }
    for (int j = 1; j <= n; j++)
        for (int k = 0; k < j; k++)
            for (int i = 1, sum = 0; i <= n; i++)
            {
                sum = a[i][j] - a[i][k] + max(0, sum);
                ans = max(ans, sum);
            }
    printf("%d
", ans);
    return 0;
}