网络流24题-魔术球问题

魔术球问题

时空限制1000ms / 128MB

题目描述

«问题描述：

假设有n根柱子，现要按下述规则在这n根柱子中依次放入编号为1，2，3，...的球。

（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2）在同一根柱子中，任何2个相邻球的编号之和为完全平方数。

试设计一个算法，计算出在n根柱子上最多能放多少个球。例如，在4 根柱子上最多可放11 个球。

«编程任务：

对于给定的n，计算在n根柱子上最多能放多少个球。

输入输出格式

输入格式：

第1 行有1个正整数n，表示柱子数。

输出格式：

程序运行结束时，将n 根柱子上最多能放的球数以及相应的放置方案输出。文件的第一行是球数。接下来的n行，每行是一根柱子上的球的编号。

输入输出样例

输入样例： 

4

输出样例： 

11
1 8
2 7 9
3 6 10
4 5 11

说明

4<=n<=55

---

最小路径覆盖问题。

DAG的最小路径覆盖：

定义：在一个有向图中，找出最少的路径，使得这些路径经过了所有的点，且这些路径之间不会经过相同的点。

算法：把原图的每个点V拆成Vx和Vy两个点，如果有一条有向边A->B，那么就加边Ax−>By。这样就得到了一个二分图。那么最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。

证明：一开始每个点都是独立的为一条路径，总共有n条不相交路径。我们每次在二分图里找一条匹配边就相当于把两条路径合成了一条路径，也就相当于路径数减少了1。所以找到了几条匹配边，路径数就减少了多少。所以有最小路径覆盖=原图的结点数-新图的最大匹配数。因为路径之间不能有公共点，所以加的边之间也不能有公共点，这就是匹配的定义。

再回来看本题，若两个球编号之和是完全平方数则连边，这样最小路径覆盖数就是柱子数。但是题目给你的是柱子数，要求球数，可以二分球数判断最少需要多少个柱子。

本题的另一个难点是输出每根柱子上球的编号，就是输出最小路径覆盖路径集合的每一条路径上的点。考虑我们是如何求最小路径覆盖的，我们一开始认为路径集合就是点集，然后找到一个匹配边，把这个边的两个点所在的集合合并成一个集合（其实就是把两条路径合并成一条路径）。因为我的最大匹配是用最大流写的，所以最后我判断某两个点是否在一条路径上，就直接判断它们的反向边是否有流量（注意这里的两个点并不是任意的两个点，而是一条路径上相邻的两个点）。

#include<bits/stdc++.h>
#define N 3250
using namespace std;

typedef struct
{
    int v;
    long long flow;
}ss;
ss edg[N*N];
vector<int>edges[N];
int now_edges=0;
int fl[N][N];

void init()
{
    for(int i=0;i<N;i++)edges[i].clear();
    now_edges=0;
}

void addedge(int u,int v,long long flow)
{
    fl[u][v]+=flow;
    edges[u].push_back(now_edges);
    edg[now_edges++]=(ss){v,flow};
    edges[v].push_back(now_edges);
    edg[now_edges++]=(ss){u,0};
}

int dis[N],S,T;

bool bfs()
{
    queue<int>q;
    q.push(S);
    memset(dis,0,sizeof(dis));
    dis[S]=1;
    
    while(!q.empty())
    {
        int now=q.front();
        q.pop();
        
        int Size=edges[now].size();
        for(int i=0;i<Size;i++)
        {
            ss e=edg[edges[now][i]];
            if(e.flow>0&&dis[e.v]==0)
            {
                dis[e.v]=dis[now]+1;
                q.push(e.v);
            }
        }
    }
    if(dis[T]==0)return 0;
    return 1;
}

int current[N];

long long dfs(int now,long long maxflow)
{
    if(now==T)return maxflow;
    
    int Size=edges[now].size();
    for(int i=current[now];i<Size;i++)
    {
        current[now]=i;
        ss &e=edg[edges[now][i]];
        if(e.flow>0&&dis[e.v]==dis[now]+1)
        {
            long long Flow=dfs(e.v,min(maxflow,e.flow));
            if(Flow!=0)
            {
                fl[now][e.v]-=Flow;
                fl[e.v][now]+=Flow;
                
                e.flow-=Flow;
                edg[edges[now][i]^1].flow+=Flow;
                return Flow;
            
            }
            
        }
        
    
    }
    return 0;
}

long long dinic()
{
     long long ans=0,flow;
    while(bfs())
    {
        memset(current,0,sizeof(current));
        while(flow=dfs(S,LLONG_MAX/2))ans+=flow;
    
    }
    return ans;
}

int f(int n)  //返回球数是n的时候的最小路径覆盖数 
{
    init();
    
    S=2*n+1;
    T=2*n+2;
    
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        if((int)sqrt(i+j)*(int)sqrt(i+j)==(i+j))addedge(2*i-1,2*j,1);    
        
        addedge(S,2*i-1,1);
        addedge(2*i,T,1);
    }
    
    return n-dinic();
}

int vis[N]={0};

void ff(int x,int ans) //dfs寻找每条路径上的点，由于题目的特殊性可以从小到大按顺序寻找 
{
    printf("%d ",x);
    vis[x]=1;
    
    for(int i=x+1;i<=ans;i++)
    if(fl[i*2][x*2-1])
    {
        ff(i,ans);
        break;
    }
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    int Left=1,Right=1600,ans=1;
    
    while(Left<=Right)
    {
        int mid=(Left+Right)/2;
        
        if(f(mid)<=n)
        {
            ans=mid;
            Left=mid+1;
        }
        else Right=mid-1;
    
    
    }
    printf("%d
",ans);
    
    for(int i=1;i<=ans;i++)
    {
        if(!vis[i])ff(i,ans),printf("
");;
        
    }
    
    
    return 0;
}