反素数

问题描述:

对于任何正整数x,起约数的个数记做g(x).例如g(1)=1,g(6)=4.

定义：如果某个正整数x满足:对于任意i(0<i<x),都有g(i)<g(x),则称x为反素数.

现在给一个N,求出不超过N的最大的反素数.

比如:输入1000 输出 840

思维过程:

求[1..N]中最大的反素数-->求约数最多的数

如果求约数的个数 756=2^2*3^3*7^1

(2+1)*(3+1)*(1+1)=24

基于上述结论,给出算法:按照质因数大小递增顺序搜索每一个质因子,枚举每一个质因子

为了剪枝:

性质一:一个反素数的质因子必然是从2开始连续的质数.

因为最多只需要10个素数构造:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29

性质二:p=2^t1*3^t2*5^t3*7^t4.....必然t1>=t2>=t3>=....

 

typedef __int64 INT;
INT bestNum;   //约数最多的数
INT bestSum;   //约数最多的数的约数个数
const int M=1000; //反素数的个数 
INT n=500000;//求n以内的所有的反素数
INT rprim[M][2];
//2*3*5*7*11*13*17>n，所以只需考虑到17即可
INT prim[14]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29};  

//当前走到num这个数，接着用第k个素数，num的约数个数为sum，
//第k个素数的个数上限为limit
void getNum(INT num,INT k,INT sum,INT limit)  {
     if(num>n)return;
    if(sum>bestSum){
        bestSum = sum;
        bestNum = num;
    }else if(sum == bestSum && num < bestNum){  //约数个数一样时，取小数
        bestNum = num;
    }
    if(k>=7) return; //只需考虑到素数17,即prim[6]
  
    for(INT i=1,p=1;i<=limit;i++){   //素数k取i个
        p*=prim[k];
        getNum(num*p,k+1,sum*(i+1),i);
    }
}

INT log2(INT n){   //求大于等于log2（n）的最小整数
    INT i = 0;
    INT p = 1;
    while(p<n){
        p*=2;
        i++;
    }
    return i;
}

int getrprim(){//反素数的个数
    int i = 0;
    while(n>0){
        bestNum = 1;
        bestSum = 1;
        getNum(1,0,1,log2(n));
        n = bestNum - 1;
        rprim[i][0]=bestNum;
        rprim[i][1]=bestSum;
        i++;
    }
    return i;    
}