约瑟夫环的数学方法

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
  为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
  问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出
  ，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
  我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
  k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
  并且从k开始报0。
  现在我们把他们的编号做一下转换：
  k --> 0
  k+1 --> 1
  k+2 --> 2
  ...
  ...
  k-3 --> n-3
  k-2 --> n-2
  序列1： 1, 2, 3, 4, …, n-2, n-1, n
  序列2： 1, 2, 3, 4, … k-1, k+1, …, n-2, n-1, n
  序列3： k+1, k+2, k+3, …, n-2, n-1, n, 1, 2, 3,…, k-2, k-1
  序列4：1, 2, 3, 4, …, 5, 6, 7, 8, …, n-2, n-1
  变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来(其实就是利用子问题的解等价转换人数等于n的解,因为n在转化成n-1时已经出队一个人了,剩下n-1的最后出队人仍然和n的解相同,只是需要映射将下标到人数为n的情况)：
  ∵ k=m%n;
  ∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
  ∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
  得到 x‘=(x+m)%n
  如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
  令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
  递推公式:
  f[1]=0;
  f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
  有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：
  

 #include <stdio.h>
  int main(void)
  {
  int n, m, i, s=0;
  printf ("N M = ");
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (i=2; i<=n; i++)
  s=(s+m)%i;
  printf ("The winner is %d/n", s+1);
  return 0 ;
  }

  这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。