一、哈夫曼树的概念和定义
什么是哈夫曼树？
让我们先举一个例子。
判定树：
if(score<60)
cout<<"Bad"<<endl;
else if(score<70)
cout<<"Pass"<<endl
else if(score<80)
cout<<"General"<<endl;
else if(score<90)
cout<<"Good"<<endl;
else
cout<<"Very good!"<<endl;
下面我们就利用哈夫曼树寻找一棵最佳判定树，即总的比较次数最少的判定树。
第一种构造方式：
第二种构造方式：
这两种方式，显然后者的判定过程的效率要比前者高。在也没有别地判定过程比第二种方式的效率更高。
定义哈夫曼树之前先说明几个与哈夫曼树有关的概念：
- 路径： 树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点之间的路径。
- 路径长度：路径上的分枝数目称作路径长度。
- 树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和。
- 结点的带权路径长度：在一棵树中，如果其结点上附带有一个权值，通常把该结点的路径长度与该结点上的权值 之积称为该结点的带权路径长度（weighted path length）
- 权值就是定义的路径上面的值。可以这样理解为节点间的距离。通常指字符对应的二进制编码出现的概率。至于霍夫曼树中的权值可以理解为：权值大表明出现概率大！一个结点的权值实际上就是这个结点子树在整个树中所占的比例.
-
树的带权路径长度：如果树中每个叶子上都带有一个权值，则把树中所有叶子的带权路径长度之和称为树的带权路径长度。
设某二叉树有n个带权值的叶子结点，则该二叉树的带权路径长度记为：
（公式中，Wk为第k个叶子结点的权值；Lk为该结点的路径长度。）
二、哈夫曼树的构造
注意：哈夫曼树并不唯一，但带权路径长度一定是相同的。
下面演示了用Huffman算法构造一棵Huffman树的过程：
（1）8个结点的权值大小如下：
（2）从19，21，2，3，6，7，10，32中选择两个权小结点。选中2，3。同时算出这两个结点的和5。
（3）从19，21，6，7，10，32，5中选出两个权小结点。选中5，6。同时计算出它们的和11。
（4）从19，21，7，10，32，11中选出两个权小结点。选中7，10。同时计算出它们的和17。
（BTW：这时选出的两个数字都不是已经构造好的二叉树里面的结点，所以要另外开一棵二叉树；或者说，如果两个数的和正好是下一步的两个最小数的其中的一个，那么这个树直接往上生长就可以了，如果这两个数的和比较大，不是下一步的两个最小数的其中一个，那么就并列生长。）
（5）从19，21，32，11，17中选出两个权小结点。选中11，17。同时计算出它们的和28。
（6）从19，21，32，28中选出两个权小结点。选中19，21。同时计算出它们的和40。另起一颗二叉树。
（7）从32，28， 40中选出两个权小结点。选中28，32。同时计算出它们的和60。
（8）从 40， 60中选出两个权小结点。选中40，60。同时计算出它们的和100。 好了，此时哈夫曼树已经构建好了。
哈夫曼树又称为最优二叉树，它的节点总数和二叉树相同为2n-1，n为叶子节点个数。
三、哈夫曼树的在编码中的应用
参考：https://www.cnblogs.com/13224ACMer/p/4706174.html