python实现连续子数组的最大和

题目描述

HZ偶尔会拿些专业问题来忽悠那些非计算机专业的同学。今天测试组开完会后,他又发话了:在古老的一维模式识别中,常常需要计算连续子向量的最大和,当向量全为正数的时候,问题很好解决。但是,如果向量中包含负数,是否应该包含某个负数,并期望旁边的正数会弥补它呢？例如:{6,-3,-2,7,-15,1,2,2},连续子向量的最大和为8(从第0个开始,到第3个为止)。给一个数组，返回它的最大连续子序列的和，你会不会被他忽悠住？(子向量的长度至少是1)

 方法一：穷举法

我们很自然地能想到穷举的办法，穷举所有的子数组的之和，找出最大值。

i, j的for循环表示x[i..j]，k的for循环用来计算x[i..j]之和。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        maxsofar = 0
        for i in range(0,len(array)):
            for j in range(i,len(array)):
                presum = 0
                for k in range(i,j):
                    presum += array[k]
                maxsofar = max(maxsofar, presum)
        return maxsofar
#bug:不适合最大的<0的情况。
#例如：[-2,-8,-1,-5,-9]
# 对应输出应该为:-1
# 你的输出为:0

 有三层循环，穷举法的时间复杂度为O（n³）。

对穷举法的改进1：

我们注意到x[i..j]之和 = x[i..j-1]之和 + x[j]，因此在j的for循环中，可直接求出sum。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        maxsofar = 0
        for i in range(0,len(array)):
            presum = 0
            for j in range(i,len(array)):
                presum += array[j]
                maxsofar = max(maxsofar, presum)
        return maxsofar
#bug:不适合最大的<0的情况。
#例如：[-2,-8,-1,-5,-9]
# 对应输出应该为:-1
# 你的输出为:0

改进之后的时间复杂度变为o（n²）

对穷举法的改进2

在计算fibonacci数时，应该还有印象：用一个累加数组（cumulative array）记录前面n-1次之和，计算当前时只需加上n即可。同样地，我们用累加数组cumarr记录：cumarr[i] = x[0] + . . . +x[i]，那么x [i.. j]之和 = cumarr[j] -cumarr[i - 1]。

cumarr[-1] = 0
for i = [0, n)
    cumarr[i] = cumarr[i-1] + x[i]
    
maxsofar = 0
for i = [0, n)
    for j = [i, n)
        sum = cumarr[j] - cumarr[i-1]
        /* sum is sum of x[i..j] */
        maxsofar = max(maxsofar, sum)

时间复杂度为o（n²）

方法二：举例分析数组的规律

思路：

最大和连续子数组一定有如下几个特点：

1. 第一个不为负数
2. 如果前面数的累加值加上当前数后的值会比当前数小，说明累计值对整体和是有害的；如果前面数的累加值加上当前数后的值比当前数大或者等于，则说明累计值对整体和是有益的。

步骤：

1、定义两个变量，一个用来存储之前的累加值，一个用来存储当前的最大和。遍历数组中的每个元素，假设遍历到第i个数时：
　　①如果前面的累加值为负数或者等于0，那对累加值清0重新累加，把当前的第i个数的值赋给累加值。
　　②如果前面的累加值为整数，那么继续累加，即之前的累加值加上当前第i个数的值作为新的累加值。
2、判断累加值是否大于最大值：如果大于最大值，则最大和更新；否则，继续保留之前的最大和。

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def FindGreatestSumOfSubArray(self, array):
        # write code here
        sum = array[0]
        presum = 0
        for i in array:
            if presum < 0:
                presum = i
            else:
                presum += i
            sum = max(presum,sum)
        return sum

 分治法，动态规划，未完待续