1 分数阶微分理论
分数阶微分几乎和整数阶微分同时诞生，但由于一直没有常见的物理现象能够解释这一数学表达式的含义，所以其也未被广泛运用。几个世纪以来，虽然分数阶微分理论得到了长足的发展，但至今没有统一的定义。目前Riemann-Liouville(R-L)定义、Grümwald-Letnikov(G-L) 定义、Caputo定义是比较经典的分数阶微分定义。下面将对这三种定义进行讨论。
1.1 Gamma函数
Gamma 函数是用积分形式定义的超越函数，Gamma函数的性质已经在数学领域中被深入研究，而且其在分数阶微积分中有着至关重要的作用。
Gamma函数的定义如下：
其中，x可以为复数，当其为复数时，应满足。
另一种Gamma函数的极限形式推导如下：
得出：
可以取,此时Gamma函数的曲线图，如下图所示。
Gamma函数
Gamma函数的性质有：
（1）采用分部积分的数学方式，表示出以下递归性质:
于是有当x为正整数时:
（2）一般二项式系数可以被表现为：
其中k为非负整数。
1.2 格林瓦德-列特尼科夫(G-L)定义
Grumwald-Letnikov分数阶微分定义是通过高阶微分推广得到，对于可微函数的一阶微分定义如下：
的二阶微分：
以此类推，得到的n阶微分：
上式表示的任意整数阶n的微分表达式，将其推广到任意阶，包含分数阶，其中实数，由此得到：
代入Gamma函数得：
上式即为在G-L定义下，的阶微分公式。其中符合D表示此式为分数阶微积分，GL表示该分数阶微分采用Grumwald-Letnikov(G-L)定义，h表示积分时间步长。当时，上式即为分数阶积分。
G-L定义满足以下性质：
（1）线性可加性：
（2）结合性：
1.3 黎曼-刘维尔(RL)定义
Riemann-Liouville定义是G-L定义的改进，的阶R-L积分公式定义如下：
如果要求R-L定义下的阶微分公式，可以先求阶积分再求整数阶n的微分，得到：
其中， 。
R-L定义满足以下性质：
(1)对于任意常数C满足：
(2)线性可加性：
1.4 Caputo定义
Caputo定义的阶分数阶微分定义如下：
Caputo定义与Riemann-Liouville定义不同之处是通过先求整数阶微分后求分数阶积分推导出来的。
分数阶微分Riemann-Liouville(R-L)定义、Grümwald-Letnikov(G-L) 定义、Caputo定义是从不同的方向推导出的分数阶微积分定义，三者的定义形式不同，但是在一定的条件下，三者之间可以相互转换。
2 经典的边缘检测算法
2.1 引言
图像边缘的灰度存在较大变化，因此求取图像各个方向上的梯度，而梯度值可以反映灰度变化的剧烈程度，由此可以判断图像的边缘区域，目前的边缘检测方面基本上都是基于这一种方案。经过几十年的发展，比较经典的边缘检测与提取的算子有Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子、LOG算子和Canny方法等。
边缘检测的一般流程为：
（1）滤波：一般先对原始图像进行预处理，即对图像进行滤波等去噪处理，降低后续处理中噪声的干扰，但这样也会导致边缘检测结果的模糊。
（2）计算梯度：将边缘检测算子和图像进行卷积运算，以此求取图像的梯度幅值图或图像梯度方向图。
（3）检测：使用阈值对边缘进行检测。
（4）定位：确定边缘的位置。
2.2 Roberts算子
Roberts算子是的模板，如下图所示，通过求取相邻对角元素之差来确定该区域的梯度。
图Roberts算子
用边缘检测算子，和整个图像进行卷积运算，左上角的位置为当前位置（x,y），由此求得x和y方向的偏导数：
故点(x,y)处的梯度强度为：
再通过设定的阈值，对这些边缘点进行判定。Roberts算子采用的模板，因此没有准确的中心点，而且对噪声很敏感，因此目前较少使用。
2.3 Prewitt算子
Prewitt算子是采用两个垂直方向上的的模板，如下图所示，在相邻的八个点内进行梯度计算，相较于Roberts算子，Prewitt则有了明确的中心点，对于边缘定位会更加准确。
图Prewitt算子
设算子的中心点为，Prewitt算子则是在其的领域内计算它x和y方向上的偏导数。
故点处的梯度幅值为：
再通过设定的阈值，对这些边缘点进行判定。
2.4 Sobel算子
与Prewitt算子相似，但将模板中心系数设定为2，如下图所示。相较于Prewitt算子，权值的改变可以更好提取图像边缘。
图Sobel算子
该算子的中心点为(x,y)，在其3x3的领域内计算它x和y方向上的偏导数。
故点（x,y）处的梯度幅值为：
再通过设定的阈值，对这些边缘点进行判定。
2.5 LoG算子
LoG(Laplacian of Gaussian)边缘检测算子是Marr和Hildreth在1980年提出。LoG 算子源于D.Marr计算视觉理论中提出的边缘提取思想，LoG方法首先通过高斯滤波函数对图像进行平滑以抑制噪声的影响，但抑制噪声程度越大，图像边缘模糊则越严重。
二维高斯滤波函数：
然后用Laplacian算子计算图像梯度：
最后得出的梯度图像中的零交叉点即为图像的边缘点。
上式可以化为：
因此LoG算子即为：
算子中的高斯函数会对图像进行滤波处理，平滑图像，从而抑制噪声干扰。而且Laplacian的各向同性使其具有旋转不变性，对模板任何方向上都具有相等的响应，该特性更加符合人的视觉系统。
2.6 Canny算子
Canny认为一种好的边缘检测与提取算法应当可以抑制噪声干扰还能够精准定位实际中的边缘。Canny方法提出了三个基本目标：
（1）低错误率。所有的实际边缘都应该可以检测出，并且检测到的边缘应该尽可能是真实的边缘，没有伪响应。
（2）边缘点被很好地定位。由检测器找出的边缘点应该和真实边缘的中心之间的距离最小。
（3）单一的边缘点响应。在实际边缘点处，检测器所检测出边缘结果应仅返回一个点。
其具体的实现过程如下：
（1）对原始图像进行高斯滤波处理，抑制噪声，得到图像。具体过程如下：
其中为标准差。
(2)分别计算平滑图像的梯度幅度和方向：
其中,是图像在方向上的梯度。
(3)对梯度幅度图像按照梯度方向进行非极大值抑制处理。
首先将角度图像按就近原则划分成四个方向：水平、、垂直、。如下图所示。
图角度划分图
接着对3x3领域内的四个基本方向进行非极大值抑制，若中心点在沿其方向上领域的梯度幅值最大，则保留该点，否则，抑制该点。
（4）使用双阈值检测并连接边缘。选取两个阈值，分别为高阈值和低阈值。将幅值高于高阈值的点直接设为边缘点置一，低于低阈值的点设置零，这样便可以直接确定较明显的边缘点。将幅值低于高阈值但高于低阈值的点使用八连通区域确定这些弱边缘点。
Canny算子是目前公认的较优秀的算子，其检测的边缘不仅具有方向性，而且其检测边缘的性能也较为理想。
3 分数阶微分的检测能力分析
对于能量信号,若存在整数k（）阶微分,则有：
对上式进行傅里叶变换得：
其中为k阶微分乘子函数。的指数形式为：
将上式的整数k阶微分推广到任意分数v阶微分,由此得分数阶微分的频域形式：
其中为v阶微分乘子函数。其指数形式为：
根据式（2.31），代入k=1和k=2时，画出1阶、2阶微分的幅频特性。代入时分数阶微分的幅频特性曲线，如下图所示。
图 信号微分幅频特性曲线
从上图中可以看出，微分运算对于高频信号都有提高的作用，且随着频率和阶次的增加呈现非线性的增长。图中微分运算对低频信号有削弱作用，但整数阶微分对低频信号抑制作用更强。对于阶数的微分而言，高频成分的提升作用小于整数阶微分，中频信号也有一定的增强作用，而且对于低频信号的削弱作用也小于整数阶微分，对于低频信号均呈现了非线性保留。因此相较于整数阶微分，分数阶微分进行边缘检测时，不仅能够很好提取图像边缘信息，而且还能够对于平滑区域的弱边缘信息也能够有很好的保留。由于图像中的噪声一般都表现为高频部分，相比于整数阶微分算子，阶数为阶的微分算子能够对高频部分进行一定程度的压缩，因此分数阶微分对于噪声有一定程度的抑制作用。
4 分数阶微分边缘检测模板
考虑到分数阶微分算子对于边缘检测的优势，这几年，在相关方面也得到了很大的发展，国内外也提出了很多分数阶边缘检测模板，以下便讨论其中几种模板。
4.1 CRONE算子
Mathieu在2003年发表的论文《Fractional differentiation for edge detection》中，提出了CRONE算子，首次将分数阶微分用到了图像边缘检测领域中。
文中提出CRONE算子认为分数阶微分应该考虑到正向和反向的提取结果，即分数阶微分运算考虑在变量x增加和减小两个方向进行。因此两个方向的微分算子
的表达式推导如下：
在x增加的方向上，的一阶导数为
：
在x减小的方向上，的一阶导数为
：
其中h为无穷小的正数。此时，引入位移算子q，满足如下条件：
代入上式得：
由此求得微分算子为：
推广至任意阶可以得：
联合上式可以推得：
由牛顿二项式展开得:
其中
由于图像是二维，且可以分为两个独立的X和Y轴，因此利用推导出的分数阶微分算子构成两个相互独立的向量算子，分别对图像进行卷积运算，模板长度为2m+1。
水平方向模板：
垂直方向模板：
CRONE方法中的阶数n范围是(-1,2),实验证明当阶数越接近于2时，CRONE具有更好的边缘检测选择性，而当算子阶数越小时，算子具有更好的抗噪性能，因此选择一个合适的阶数使得CRONE算子不仅拥有较好的边缘检测性能，而且还不能对于噪声十分敏感非常重要。
4.2 优化的CRONE算子
CRONE算子的改进方案有多种，其中许详微提出基于CRONE算子的S+Z型特征提取方法，将分形几何的Peano曲线引入到边缘提取的模板中，分别构造了S型曲线和Z型曲线互补性的3x3微分掩膜，如下图所示。
图S型曲线构造模板
图Z型曲线构造模板
分别将S和Z型模型和原图像卷积计算，将得出的图形分别为、，按下式进行融合，从而可以提取到更加细致的特征。
4.3 Tiansi算子
杨柱中等人根据传统的Grumwald-Letnikov(G-L)分数阶微分定义，拓展为二维掩膜，从而推导出了Tiansi算子。将一维信号在信号持续期内按单位长度 进行等分，从而推导出信号分数阶微分的差分表达式：
为实现滤波器且误差不会较大，因此用前三项构造5x5的各向同性滤波器，即分数阶微分掩膜。文中考虑到掩膜对八个方向进行边缘检测，因此构造出了Tiansi算子。如下图所示。
图Tiansi算子
在使用Tiansi算子模板进行图像边缘检测时，考虑到要归一化算子，因此要先将模板的每一项除以,然后再与图像相卷积，最后将得到的图像梯度幅值与原图像对应灰度值相减，通过阈值判断，所得结果即为图像边缘信息。
4.4 改进Tiansi算子
王卫星[20]针对岩石节理裂隙图像提出了针对Tiansi算子的改进方法，通过将5x5大小的Tiansi算子分成8个方向的3x3的掩膜，然后用8个掩膜分别与原图像进行卷积求取该方向上的梯度，得到8个幅值大小的图像，如下图所示。
（a） （b）
（c） （d）
（e） （f）
（g） （h）
图八个方向的Tiansi掩膜算子
随后提出三种组合方案，利用这八个模板的组合排序，提出了三种增强图像边缘幅度的改进方案，结果证明相较于Tiansi算子有了更强的边缘细节提取能力，且没有出现太多的噪声信息。
4.5 多方向分数阶模板
许详微[40]从CRONE算子中，构造了八个方向的掩膜，使其算子具有抗旋转性。分别从、、、、、、以及八个方向提出CRONE掩膜算子，以此和图像进行卷积后融合为图像边缘信息，如下图所示。
(a) 水平方向CRONE模板 （b）旋转CRONE模板
图多方向CRONE模板
除此之外，蒲亦非是从Grumwald-Letnikov(G-L)定义中提出了八个方向掩膜算子。在传统分数阶微分模板中，考虑到像素间的最小距离为1，因此采用最小步长h=1，这种方法存在以下缺点：(a)没有充分利用数字图像的高度自相关特性，使得结果出现偏差；(b)图像中未处理的噪声点会在图像卷积过程中被判断为边缘点，因此对提取结果造成较大误差。而使用插值方法的非整数步长的掩膜能够克服以上的不足。王斌[41]和陈青[42]分别在文献中提出了不同的多方向非整数阶边缘检测模板。
4.6 FD模板
何春等人[21]在推导CRONE算子的方法上提出了复合微分导数的推导方法，并且以此建立了新的FD微分模板。即：
其中，h为微分步长, 
为CRONE算子的系数。由于n为分数，上式是一个复数算子。再使用推导出的分数阶微分算子构成两个相互独立的向量掩膜和，分别对图像进行卷积运算，模板长度为2m+1。
水平方向模板：
垂直方向模板：
将卷积后两个方向的梯度图像按平方和方式，进行图像融合。
除了上述讨论的几种分数阶边缘检测方法外，最近几年这一领域也有很大的发展，程金梅[43]也提出了一种复合导数的边缘检测方法，蒋伟[44]和张佳梅[23]分别将分数阶微分的G-L定义引入到Sobel、Canny方法中，也取得了很好的效果。尽管有了不错的进展，但目前在图像领域中分数阶微积分的运用仍然处于起步阶段，未来还有更大的发展潜力。