一个连通图的生成树是该连通图的一个极小连通子图,它是含有图的全部顶点,但只有构成一棵树的(n-1)条边,而最小生成树则是在生成树的基础上,要求树的(n-1)条边的权值之和是最小的。
由此可以总结构造最小生成树的要求有:
(1)必须只使用该图中的边来构造最小生成树
(2)必须使用且仅使用(n-1)条边来连接图中的n个顶点
(3)不能使用产生回路的边
(4)要求树的(n-1)条边的权值之和是最小的
大致思想是:设图G顶点集合为U,首先任意选择图G中的一点作为起始点a,将该点加入集合V,再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小,此时将b点也加入集合V;以此类推,现在的集合V={a,b},再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小,此时将c点加入集合V,直至所有顶点全部被加入V,此时就构建出了一颗MST。
因为有N个顶点,所以该MST就有N-1条边,每一次向集合V中加入一个点,就意味着找到一条MST的边。生成树中各边的代价之和最小的那棵生成树是最小代价生成树
该算法与kruskal算法类似,都是最小成生树算法,都用于无向图
适用于稠密图,边多
#include <iostream> #include <vector> using namespace std; const int INF=0x3f3f; class Graph { private: int num; int edg; vector<vector<int> > array; vector<int> close;//close[i]的值记录所有与i相连的并且是到i的最小值 vector<int> lowcost; public: Graph(); ~Graph(); void prim(int begin); }; Graph::Graph() { cout<<" num"<<endl; cin>>num; cout<<" edg"<<endl; cin>>edg; close.resize(num); lowcost.resize(num); array.resize(num); for(int i=0;i<num;++i) { array.at(i).resize(num); fill(array.at(i).begin(),array.at(i).end(),INF); } cout<<" 输入边的两个端点&&权值"<<endl; vector<vector<int> > info(edg,vector<int>(2)); for(int i=0;i<edg;++i) { cin>>info.at(i).at(0)>>info.at(i).at(1); cin>>array[info.at(i).at(0)-1][info.at(i).at(1)-1]; array[info.at(i).at(1)-1][info.at(i).at(0)-1]=array[info.at(i).at(0)-1][info.at(i).at(1)-1]; } } Graph::~Graph() { } /* *lowcost值为-1表示已经使用过 *lowcost的值:表示以lowcost[i]为终点的边的最小权值;close的值:表示lowcost[i]对应的起点; *1.第一次先把lowcost[i]初始化为最小生成树到图中结点的权值,并且把最小生成树加入close中,colse[i]值为begin *2.找n-1条边 * 先找lowcost值最小的结点 * 如果此结点的加入会使最小生成树到图中的结点的权值变小,加入此节点,更新lowcos值 */ void Graph::prim(int begin) { for(int i=0;i<num;++i) { if(i!=begin) { lowcost.at(i)=array.at(begin).at(i);//以i为终点的权值,即集合中的点到最小成树中值 close.at(i)=begin;//记录lowcost[i]的起点,也就是begin-->i } } lowcost.at(begin)=-1;//第一次把begin加入最小生成树的顶点集,begin用过不再用 for(int i=1;i<num;++i)//num个顶点找到num-1条边即可 { int Min=INF,index=0; for(int j=0;j<num;++j) if(lowcost[j]!=-1&&lowcost[j]<Min)//找出所有边中的最小值 { Min=lowcost[j]; index=j; } cout<<close.at(index)<<"-->"<<index<<" Min:"<<lowcost.at(index)<<endl; lowcost.at(index)=-1; for(int j=0;j<num;++j)//如果由于index的加入导致其他节点到生乘树的权值变小 if(lowcost[j]!=-1&&array.at(index).at(j)<lowcost.at(j)) { lowcost.at(j)=array.at(index).at(j);//更新权值 close.at(j)=index;//更新边的信息 } } } int main() { Graph g; g.prim(1); return 0; }
详细图解请参考:https://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045