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  • 最小生成树——Prim算法

      一个连通图的生成树是该连通图的一个极小连通子图它是含有图的全部顶点,但只有构成一棵树的(n-1)条边,而最小生成树则是在生成树的基础上,要求树的(n-1)条边的权值之和是最小的

    由此可以总结构造最小生成树的要求有:

    (1)必须只使用该图中的边来构造最小生成树

    (2)必须使用且仅使用(n-1)条边来连接图中的n个顶点

    (3)不能使用产生回路的边

    (4)要求树的(n-1)条边的权值之和是最小的

      大致思想是:设图G顶点集合为U,首先任意选择图G中的一点作为起始点a,将该点加入集合V再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小,此时将b点也加入集合V;以此类推,现在的集合V={a,b},再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小,此时将c点加入集合V,直至所有顶点全部被加入V,此时就构建出了一颗MST。

    因为有N个顶点,所以该MST就有N-1条边,每一次向集合V中加入一个点,就意味着找到一条MST的边。生成树中各边的代价之和最小的那棵生成树是最小代价生成树

      该算法与kruskal算法类似,都是最小成生树算法,都用于无向图

      适用于稠密图,边多

    #include <iostream>
    #include <vector>
    using namespace std;
    
    const int INF=0x3f3f;
    class Graph
    {
        private:
            int num;
            int edg;
            vector<vector<int> > array;
            vector<int> close;//close[i]的值记录所有与i相连的并且是到i的最小值 
            vector<int> lowcost;
        public:
            Graph();
            ~Graph();
            void prim(int begin);
    };
    Graph::Graph()
    {
        cout<<" num"<<endl;
        cin>>num;
        cout<<" edg"<<endl;
        cin>>edg;
        
        close.resize(num);
        lowcost.resize(num);
        array.resize(num);
        for(int i=0;i<num;++i)
        {
            array.at(i).resize(num);
            fill(array.at(i).begin(),array.at(i).end(),INF);
        }
        
        cout<<" 输入边的两个端点&&权值"<<endl;
        vector<vector<int> > info(edg,vector<int>(2));
        for(int i=0;i<edg;++i)
        {
            cin>>info.at(i).at(0)>>info.at(i).at(1);
            cin>>array[info.at(i).at(0)-1][info.at(i).at(1)-1];
            array[info.at(i).at(1)-1][info.at(i).at(0)-1]=array[info.at(i).at(0)-1][info.at(i).at(1)-1];
        }
    }
    Graph::~Graph()
    {
        
    }
    /*
     *lowcost值为-1表示已经使用过
     *lowcost的值:表示以lowcost[i]为终点的边的最小权值;close的值:表示lowcost[i]对应的起点;
     *1.第一次先把lowcost[i]初始化为最小生成树到图中结点的权值,并且把最小生成树加入close中,colse[i]值为begin
     *2.找n-1条边
     *      先找lowcost值最小的结点 
     *        如果此结点的加入会使最小生成树到图中的结点的权值变小,加入此节点,更新lowcos值 
     */ 
    void Graph::prim(int begin)
    {
        for(int i=0;i<num;++i)
        {
            if(i!=begin)
            {
                lowcost.at(i)=array.at(begin).at(i);//以i为终点的权值,即集合中的点到最小成树中值
                close.at(i)=begin;//记录lowcost[i]的起点,也就是begin-->i
            }
        }
        lowcost.at(begin)=-1;//第一次把begin加入最小生成树的顶点集,begin用过不再用 
        
        for(int i=1;i<num;++i)//num个顶点找到num-1条边即可 
        {
            int Min=INF,index=0;
            for(int j=0;j<num;++j)
                if(lowcost[j]!=-1&&lowcost[j]<Min)//找出所有边中的最小值 
                {
                    Min=lowcost[j];
                    index=j;
                }
            cout<<close.at(index)<<"-->"<<index<<" Min:"<<lowcost.at(index)<<endl;
            lowcost.at(index)=-1;
            
            
            for(int j=0;j<num;++j)//如果由于index的加入导致其他节点到生乘树的权值变小 
                if(lowcost[j]!=-1&&array.at(index).at(j)<lowcost.at(j))
                {
                    lowcost.at(j)=array.at(index).at(j);//更新权值 
                    close.at(j)=index;//更新边的信息 
                }
        }
    }
    int main()
    {
        Graph g;
        g.prim(1);
        return 0;
    }

    详细图解请参考:https://blog.csdn.net/yeruby/article/details/38615045

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