剪绳子

题目

给定一根长度为n的绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m>1），每段绳子的长度记为k[0],k[1],…,k[m]。请问k[0]* k[1] * … *k[m]可能的最大乘积是多少？

例子

例如，当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到的最大乘积是18。

问题解析

1. 问题是求最优解
2. 整体的问题的最优解是依赖各个子问题的最优解
3. 子问题之间还有互相重叠的更小的子问题
4. 为避免子问题的重复计算，我们存储子问题的最优解。从上往下分析问题，从下往上求解问题

动态规划

1. 定义函数f(n)表示为把长度为n的绳子剪成若干段后各段长度乘积的最大值。
2. 对于第一刀，我们有n-1种可能的选择，可推导出f(n)=max{f(i)*f(n-i)};
3. 很明显这是一个从上至下的递归，但是这个递归存在很多重复的计算，所以使用至下而上的动态规划，将子问题的最优解保存。
4. 注意绳子剪成ix(n-i)和(n-i)xi是相同的；
5. 注意不符合切割条件的输入n，以及输入为2、3长度时的结果，因为题中规定m>1。

#include <iostream>
using namespace std;

class Solution
{
    public:
        int max_length(int n);
};
int Solution::max_length(int n)
{
    if(n<2)//当长度小于2，无法减，因为至少减一次 
        return 0;
    else if(n==2)//只能减为1  1 
        return 1;
    else if(n==3)//有 1 1 1 和1 2 两种可能，最大是2 
        return 2;
    
    int *res=new int[n+1]();
    res[0]=0;//第i个元素表示把长度为i的绳子减若干段后各段长度成绩的最大值 
    res[1]=1;
    res[2]=2;//n==2时值不是1的原因:这时绳子的长度已经大于3
    res[3]=3;
    
    for(int i=4;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=i/2;++j)
        {
            int t=res[j]*res[i-j];
            if(res[i]<t)
                res[i]=t;
        }
    }
    int max=res[n];
    delete []res;
    return max;
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    Solution s;
    cout<<s.max_length(n)<<endl;
    return 0;
}