圆圈中最后剩下的数字

题目

　　0、1…n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

　　如0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3.

思路

　　解法一：

　　　　用stl中的list模拟循环链表

　　解法二：　

Step1.
首先定义一个关于 m 和 n 的函数：f(n, m)，表示在n个数字 0,1,2…,n-1 中每次删除第m个数字，最后剩下的那个数字。
  注意：f(n, m)表示的是，在经过了多次删除后，最后剩下的那个数字，也就是说f(n,m)本质上是个数。

Step2.
n个数中，第一个被删除的数是(m - 1) % n，把它记为k，此时数组中还剩下0,1,2… k-1, k+1,…n-1 这几个数字。接下来从k+1开始计数，相当于在剩下的序列中，k+1排在最前面，从而形成k+1,… n-1,… 0,1,2…k-1。本题中，第一个被删除的是数字2，因此数组还剩下 0,1,3,4,5，相当于3,4,5,0,1。由于这个序列是不连续的，在2那个地方断开了，所以不能写为f(n-1, m)。在此记为g(n-1, m)。
最初序列最后剩下的数字，一定是删除一个数字后剩下的数字，因此f(n, m) = g(n-1, m)

Step3.
将[3,4,5,0,1]重新映射为[0,1,2,3,4]，映射的公式是：p(x) = (x - k - 1) % n。其中k = 2，n = 6。
  3 —-> 0
  4 —-> 1
  5 —-> 2
  0 —-> 3
  1 —-> 4
映射以后的序列是0,1,2,3,4，是一个连续的序列，因此可以用f(n-1, m)来表示。
此时的f(n-1, m)是不等于g(n-1, m)，因为二者对应的序列不同，存在一个映射关系。
该映射的逆映射是 p’(x) = (x + k + 1) % n
因此g(n-1, m) = p’[f(n-1, m)] = [f(n-1, m) + k + 1] % n
即：f(n, m) = [f(n-1, m) + k + 1] % n
带入k = (m - 1) % n, 得到f(n, m) = [f(n-1, m) +m] % n (n > 1)

Step4.
当n = 1时，只有一个人，此时剩余的数字为0

综上，约瑟夫环的公式是：
f(n, m) = 0           (n = 1)
f(n, m) = [f(n-1, m) +m] % n  (n > 1)

#include <iostream>
#include <list>
using namespace std;

class Solution
{
    public:
        int last_remain1(const int &n,const int &m);//模拟循环链表 
        int last_remain2(const int &n,const int &m);
};
int Solution::last_remain1(const int &n,const int &m)
{
    if(n<1||m<1)
        return -1;
    list<int> l;
    for(int i=0;i<n;++i)
        l.push_back(i);
        
    list<int>::iterator it1=l.begin();
    while(l.size()>1)
    {
        for(int i=1;i<m;++i)
            ++it1;
        if(it1==l.end())
            it1=l.begin();
        
        list<int>::iterator it2=++it1;
        if(it2==l.end())
            it2=l.begin();
        l.erase(--it1);
        it1=it2;
    }
    return *it1;
}
int Solution::last_remain2(const int &n,const int &m)
{
    if(n<1||m<1)
        return -1;
        
    int last=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
        last=(last+m)%i;
    return last;
}
int main()
{
    Solution s;
    cout<<s.last_remain1(5,3)<<endl;
    cout<<s.last_remain2(5,3)<<endl;
    return 0;
}