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  • 第六周周赛题解

    A题

    这题贼水，直接暴力就可以了。

    用个bool数组记录一下，如果某一天，当前剩下的最大的出现了的话，就输出一段。

     1 #include<stdio.h>
 2 int n;
 3 bool vis[100010];
 4 int main()
 5 {
 6     scanf("%d",&n);
 7     int x;
 8     int now=n;
 9     for(int i=1;i<=n;++i)
10       {
11           scanf("%d",&x);
12           vis[x]=1;
13           if(vis[now])
14             {
15                 printf("%d",now);
16                 --now;
17                 while(vis[now])
18                   {
19                     printf(" %d",now);
20                     --now;
21                   }
22             }
23           printf("
");
24       }
25     return 0;
26 }
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    B题

    又是水题，你们肯定要感谢我

    只要求每个数对最大的数的绝对值的和就可以了

     1 #include<stdio.h>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 int n, ai;
 5 int main()
 6 {
 7     scanf("%d", &n);
 8     int maxi = 0;
 9     int sum = 0;
10     for (int i = 0; i < n; i++)
11     {
12         scanf("%d", &ai);
13         sum += ai;
14         maxi = max(maxi, ai);
15     }
16     int res = maxi * n - sum;
17     printf("%d", res);
18     return 0;
19 }
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    C题

    这一题开始就有点难了，DFS+回溯

    题目大意： 任选一个起点，按照国际象棋马的跳法，不重复的跳完整个棋盘，如果有多种路线则选择字典序最小的路线（路线是点的横纵坐标的集合，注意棋盘的横坐标的用大写字母，纵坐标是数字)

    1. 应该看到这个题就可以想到用DFS，当首先要明白这个题的意思是能否只走一遍（不回头不重复）将整个地图走完，而普通的深度优先搜索是一直走，走不通之后沿路返回到某处继续深搜。所以这个题要用到的回溯思想，如果不重复走一遍就走完了，做一个标记，算法停止；否则在某种DFS下走到某一步时按马跳的规则无路可走而棋盘还有为走到的点，这样我们就需要撤消这一步，进而尝试其他的路线（当然其他的路线也可能导致撤销），而所谓撤销这一步就是在递归深搜返回时重置该点，以便在当前路线走一遍行不通换另一种路线时，该点的状态是未访问过的，而不是像普通的DFS当作已经访问了。

    2. 如果有多种方式可以不重复走一遍的走完，需要输出按字典序最小的路径，而注意到国际象棋的棋盘是列为字母，行为数字，如果能够不回头走一遍的走完，一定会经过A1点，所以我们应该从A1开始搜索，以确保之后得到的路径字典序是最小的（也就是说如果路径不以A1开始，该路径一定不是字典序最小路径），而且我们应该确保优先选择的方向是字典序最小的方向，这样我们最先得到的路径就是字典序最小的。

     1 #include <stdio.h>
 2 #include <algorithm>
 3 #include<string.h>
 4 using namespace std;
 5 
 6 const int MAX_N = 27;
 7 
 8 const int dx[8] = {-1, 1, -2, 2, -2, 2, -1, 1};
 9 const int dy[8] = {-2, -2, -1, -1, 1, 1, 2, 2};
10 bool visited[MAX_N][MAX_N];
11 struct Step{
12     char x, y;
13 } path[MAX_N];
14 bool success;           //是否成功遍历的标记
15 int cases, p, q;
16 
17 void DFS(int x, int y, int num);
18 
19 int main()
20 {
21     scanf("%d", &cases);
22     for (int c = 1; c <= cases; c++)
23     {
24         success = false;
25         scanf("%d%d", &p, &q);
26         memset(visited, false, sizeof(visited));
27         visited[1][1] = true;    //起点
28         DFS(1, 1, 1);
29         printf("Scenario #%d:
", c);
30         if (success)
31         {
32             for (int i = 1; i <= p * q; i++)
33                 printf("%c%c", path[i].y, path[i].x);
34             printf("
");
35         }
36         else
37             printf("impossible
");
38         if (c != cases)
39             printf("
");      //注意该题的换行
40     }
41     return 0;
42 }
43 
44 void DFS(int x, int y, int num)
45 {
46     path[num].y = y + 'A' - 1;   //int 转为 char
47     path[num].x = x + '0';
48     if (num == p * q)
49     {
50         success = true;
51         return;
52     }
53     for (int i = 0; i < 8; i++)
54     {
55         int nx = x + dx[i];
56         int ny = y + dy[i];
57         if (0 < nx && nx <= p && 0 < ny && ny <= q
58             && !visited[nx][ny] && !success)
59         {
60             visited[nx][ny] = true;
61             DFS(nx, ny, num+1);
62             visited[nx][ny] = false;    //撤销该步
63         }
64     }
65 }
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    D题

    这题是我原创的题目233，其实是一道有关分治的裸题，其实就是最接近点对问题

    给定平面S上n个点，找其中的一对点，使得在n(n-1)/2 个点对中，该点对的距离最小。

    算法思路就是

     1) n较小时直接求 (n=2).                                                         
 2) 将S上的n个点分成大致相等的2个子集S1和S2    
 3) 分别求S1和S2中的最接近点对
4) 求一点在S1、另一点在S2中的最近点对
 5) 从上述三对点中找距离最近的一对.

    仔细分析上面的过程，只有第4步有些困难，其它几个步骤只要递归下去就行了。看下面这个图，我们把点分成了左右两部分S1和S2，并且分别求得了最小距离为dl，dr。 令 d = min(dl,dr)：

    divide_points_new1

    接下来要考虑的就是 两个端点分别在左右两部分中的点对。已经知道最小距离不会超过d。我们在拆分两部分的时候把 P [N/2] 作为中间点。做一条过P的垂直线，并找到所有距离垂直线距离在d以内的点，把这些点放在数组strip[] 中，如下图所示。其它点就可以不用考虑了。

    strip_closesr1

    接下来计算strip[]中的最小距离点对。按照y坐标排序，这一步需要O(nLogn)的复杂度，其实可以 通过递归和归并优化到O(n)。由于已经排序，我们可以再O(n)内找到最小距离点对d3（这里其实需要一些几何知识来证明，参考：http://people.csail.mit.edu/indyk/6.838-old/handouts/lec17.pdf）。

    贴上学长T^T的代码

     1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cmath>
 5 #include <algorithm>
 6 using namespace std;
 7 const double INF = 1e20;
 8 const int N = 100005;
 9 
10 struct Point
11 {
12     double x;
13     double y;
14 }point[N];
15 int n;
16 int tmpt[N];
17 
18 bool cmpxy(const Point& a, const Point& b)
19 {
20     if(a.x != b.x)
21         return a.x < b.x;
22     return a.y < b.y;
23 }
24 
25 bool cmpy(const int& a, const int& b)
26 {
27     return point[a].y < point[b].y;
28 }
29 
30 double min(double a, double b)
31 {
32     return a < b ? a : b;
33 }
34 
35 double dis(int i, int j)
36 {
37     return sqrt((point[i].x-point[j].x)*(point[i].x-point[j].x)
38                 + (point[i].y-point[j].y)*(point[i].y-point[j].y));
39 }
40 
41 double Closest_Pair(int left, int right)
42 {
43     double d = INF;
44     if(left==right)
45         return d;
46     if(left + 1 == right)
47         return dis(left, right);
48     int mid = (left+right)>>1;
49     double d1 = Closest_Pair(left,mid);
50     double d2 = Closest_Pair(mid+1,right);
51     d = min(d1,d2);
52     int i,j,k=0;
53     //分离出宽度为d的区间
54     for(i = left; i <= right; i++)
55     {
56         if(fabs(point[mid].x-point[i].x) <= d)
57             tmpt[k++] = i;
58     }
59     sort(tmpt,tmpt+k,cmpy);
60     //线性扫描
61     for(i = 0; i < k; i++)
62     {
63         for(j = i+1; j < k && point[tmpt[j]].y-point[tmpt[i]].y<d; j++)
64         {
65             double d3 = dis(tmpt[i],tmpt[j]);
66             if(d > d3)
67                 d = d3;
68         }
69     }
70     return d;
71 }
72 
73 
74 int main()
75 {
76     while(~scanf("%d",&n))
77     {   for(int i = 0; i < n; i++)
78             scanf("%lf %lf",&point[i].x,&point[i].y);
79         sort(point,point+n,cmpxy);
80         printf("%lf
",Closest_Pair(0,n-1));
81     }
82     return 0;
83 }
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    E题

    这题几何题233。

    解法如下：不需要正规的三角剖分，用求多边形面积的思想，从一点出发连接多边形的边得到很多三
    角形，三角形有向边方向决定有向面积有正有负，相加得到多边形面积的正值或负值。
    把两个多边形都分成若干这样的三角形，求每对三角形的交，根据两三角形有向边顺逆时
    针关系确定相交面积的正负号，最后两多边形面积和减去相交面积。

      1 #include<stdio.h>
  2  #include<string.h>
  3  #include<stdlib.h>
  4  #include<math.h>
  5  #include<algorithm>
  6  const int maxn = 555;
  7  const int maxisn = 10;
  8  const double eps = 1e-8;
  9  const double pi = acos(-1.0);
 10  int dcmp(double x)
 11  {
 12      if(x > eps) return 1;
 13      return x < -eps ? -1 : 0;
 14  }
 15  inline double min(double a, double b)
 16  {return a < b ? a : b;}
 17  inline double max(double a, double b)
 18  {return a > b ? a : b;}
 19  inline double Sqr(double x)
 20  {return x * x;}
 21  struct Point
 22  {
 23      double x, y;
 24      Point(){x = y = 0;}
 25      Point(double a, double b)
 26      {x = a, y = b;}
 27      inline Point operator-(const Point &b)const
 28      {return Point(x - b.x, y - b.y);}
 29      inline Point operator+(const Point &b)const
 30      {return Point(x + b.x, y + b.y);}
 31      inline double dot(const Point &b)const
 32      {return x * b.x + y * b.y;}
 33      inline double cross(const Point &b, const Point &c)const
 34      {return (b.x - x) * (c.y - y) - (c.x - x) * (b.y - y);}
 35  };
 36  Point LineCross(const Point &a, const Point &b, const Point &c, const Point &d)
 37  {
 38      double u = a.cross(b, c), v = b.cross(a, d);
 39      return Point((c.x * v + d.x * u) / (u + v), (c.y * v + d.y * u) / (u + v));
 40  }
 41  double PolygonArea(Point p[], int n)
 42  {
 43      if(n < 3) return 0.0;
 44      double s = p[0].y * (p[n - 1].x - p[1].x);
 45      p[n] = p[0];
 46      for(int i = 1; i < n; ++ i)
 47          s += p[i].y * (p[i - 1].x - p[i + 1].x);
 48      return fabs(s * 0.5);
 49  }
 50  double CPIA(Point a[], Point b[], int na, int nb)//ConvexPolygonIntersectArea
 51  {
 52      Point p[maxisn], tmp[maxisn];
 53      int i, j, tn, sflag, eflag;
 54      a[na] = a[0], b[nb] = b[0];
 55      memcpy(p, b, sizeof(Point) * (nb + 1));
 56      for(i = 0; i < na && nb > 2; ++ i)
 57      {
 58          sflag = dcmp(a[i].cross(a[i + 1], p[0]));
 59          for(j = tn = 0; j < nb; ++ j, sflag = eflag)
 60          {
 61              if(sflag >= 0) tmp[tn ++] = p[j];
 62              eflag = dcmp(a[i].cross(a[i + 1], p[j + 1]));
 63              if((sflag ^ eflag) == -2)
 64                  tmp[tn ++] = LineCross(a[i], a[i + 1], p[j], p[j + 1]);
 65          }
 66          memcpy(p, tmp, sizeof(Point) * tn);
 67          nb = tn, p[nb] = p[0];
 68      }
 69      if(nb < 3) return 0.0;
 70      return PolygonArea(p, nb);
 71  }
 72  double SPIA(Point a[], Point b[], int na, int nb)//SimplePolygonIntersectArea
 73  {
 74      int i, j;
 75      Point t1[4], t2[4];
 76      double res = 0, if_clock_t1, if_clock_t2;
 77      a[na] = t1[0] = a[0], b[nb] = t2[0] = b[0];
 78      for(i = 2; i < na; ++ i)
 79      {
 80          t1[1] = a[i - 1], t1[2] = a[i];
 81          if_clock_t1 = dcmp(t1[0].cross(t1[1], t1[2]));
 82          if(if_clock_t1 < 0) std::swap(t1[1], t1[2]);
 83          for(j = 2; j < nb; ++ j)
 84          {
 85              t2[1] = b[j - 1], t2[2] = b[j];
 86              if_clock_t2 = dcmp(t2[0].cross(t2[1], t2[2]));
 87              if(if_clock_t2 < 0) std::swap(t2[1], t2[2]);
 88              res += CPIA(t1, t2, 3, 3) * if_clock_t1 * if_clock_t2;
 89          }
 90      }
 91      return PolygonArea(a, na) + PolygonArea(b, nb) - res;
 92  }
 93  Point p1[maxn], p2[maxn];
 94  int n1, n2;
 95  int main()
 96  {
 97      int i;
 98      while(scanf("%d%d", &n1, &n2) != EOF)
 99      {
100          for(i = 0; i < n1; ++ i) scanf("%lf%lf", &p1[i].x, &p1[i].y);
101          for(i = 0; i < n2; ++ i) scanf("%lf%lf", &p2[i].x, &p2[i].y);
102          printf("%.2f
", SPIA(p1, p2, n1, n2) + eps);
103      }
104      return 0;
105  }
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    F题

    这题怎么说呢，题意就是：给一系列操作，每个操作有两个数t和k，t=0表示求k以内的最大反素数；t=1表示求小于k且与k互质的数的个数。

    大概就是对第一个操作，直接用dfs求反素数就行了；

    第二个操作素数筛法的思想预先打个表。

     1 #include<stdio.h>
 2 #include<algorithm>
 3 const long long INF = (((long long)1)<<62)+1;
 4 using namespace std;
 5 const int MAXN = 300 + 10;
 6 const double M=1e-8;
 7 const int N=50100;
 8 const int d[4][2]={{0,1},{0,-1},{-1,0},{1,0}};
 9 int n,m,st[N],lazy[N],a[N];
10 int p[16]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
11 long long ans,ip[N];
12 void init()
13 {
14     int i,j;
15     for(i=1;i<N;i++) ip[i]=i;           //初始化i最多有i个与其互质的数
16     for(i=1;i<N;i++)
17     {
18           for(j=i;j<=N;j+=i) ip[j]--;    //i为j的因子，所以j与i不互质，第j个数的互质数减少1
19           if(!ip[ip[i]]) ip[ip[i]]=i;     //此时ip[i]存的是不大于i的数与i互质的个数k=ip[i],
20            //如果ip[k]=0,表示小于i的所有数中，没有刚好有k个互质数的数
21            //故将ip[k]=i，表示刚好有k个与i互质的数个数最小为i
22           ip[i]=0; //标记刚好有k个互质数的数没有(不大于i的数不可能存在某个数与其互质的数的个数等于i);
23     }
24 }
25 void dfs(int k,long long num,long long sum,int limit)
26 {
27     if (sum>n) return ;
28     if (sum==n) ans=min(ans,num);
29     for (int i=1;i<=limit;i++) {
30         if (ans/p[k] <num || sum*(i+1)>n) break;
31         num*=p[k];
32         if (n%(sum*(i+1))==0)
33             dfs(k+1,num,sum*(i+1),i);
34     }
35 }
36 int main()
37 {
38     int i,j,cnt=1;
39     int t;
40     init();
41     scanf("%d",&t);
42     while(t--)
43     {
44         int t;
45         scanf("%d%d",&t,&n);
46         if (t) {
47             ans=ip[n];
48         }
49         else {
50             ans=INF;
51             dfs(0,1,1,62);
52         }
53         printf("Case %d: ",cnt++);
54         if (ans==0) puts("Illegal");
55         else if (ans>=INF) puts("INF");
56         else printf("%lld
",ans);
57     }
58 }
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