欧几里德算法和扩展欧几里德算法

欧几里德算法

也就是一般说的辗转相除法。代码框架如下：

int gcd(int a, int b) {
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

粗略估计需要进行O(log b)次整数运算。实际上，当n固定后gcd(m, n)的平均迭代次数(m <= n)近视为(12*ln2 / π²)*ln(n)  。（不知道怎么证明的-_-!）

　　扩展欧几里德算法

　　设gcd(a, b) = d，则存在正整数x， y满足ax + by = d。算法框架

int x, y;

int ext_gcd(int a, int b) {
    if(b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int p = ext_gcd(b, a%b);
    int tmp = x;
    x = y; y = tmp - (a/b)*y;
    return p;
}

证明:

当b == 0时，显然，x = 1, y = 0. d = a;

当b != 0时, 设

　　a*x1 + b*y1 = d ;(d = gcd(a, b))

　　b*x2 + (a%b)*y2 = d;

所以

　　a*x1 + b*y1 = b*x2 + (a - (a/b)*b)*y2

　　a*x1 + b*y1 = a*y2 + b*(x2 - (a/b)*y2)

所以

　　x1 = y2;

　　y1 = x2 - (a/b)*y2

到此得证上边的算法框架。

扩展欧几里德算法可以用来判断整数点是否在直线上，因为直线方程有ax + by + c = 0