算法分析第二次作业

1.问题

   什么是最短路算法

       是实现图上最短路的算法，常见的有Dijkstra算法，Floyd算法。

 

2.解析

   Dijkstra算法

 

   如图红线这条路径可以被蓝线所优化，这就是松弛操作

   Floyd算法

  如图红线这些路径也可以被蓝线所优化。

3. 设计

    Dijstra算法

1. 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为”起点s到该顶点的距离”[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。
2. 从U中选出”距离最短的顶点k”，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。
3. 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
4. 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

   Floyd算法

        从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) <          Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

4.分析

       Dijstra算法:nlogn

       Floyd算法:n3

5. 源码

     https://github.com/Tinkerllt/algorithm-work.git

//Floyd
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<set>
#include<deque>
#include<queue>
#include<vector>
//#include<unordered_map>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pii pair<int,int>
#define Pii pair<ll,ll>
#define m_p make_pair
#define l_b lower_bound
#define u_b upper_bound 
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=3e5+11;
const int maxm=2e3+11;
const int mod=1e9+7; 
const double eps=1e-5;
ll rd(){ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();while (ch<'0' || ch>'9') { if (ch == '-')f = -1; ch = getchar(); }while (ch >= '0'&&ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }return x * f;}
inline ll qpow(ll a,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1){res*=a;res%=mod;}b>>=1;a=a*a%mod;}return res;}
inline ll gcd(ll a,ll b){if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);}
//iterator 
//head
int mp[maxm][maxm];//邻接矩阵存图 
int main(){
    int n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=n;j++) {if(i==j) continue;mp[i][j]=inf;}
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int s=rd(),e=rd(),v=rd();
        mp[s][e]=v;//有向图 
    } 
    for(int k=1;k<=n;k++){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                mp[i][j]=min(mp[i][j],mp[i][k]+mp[k][j]);//松弛操作 
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) continue;
            printf("st-%d ed-%d:len-%d
",i,j,mp[i][j]==inf?-1:mp[i][j]);
        }
    } 
} 
/*4 8
1 2 2
2 3 3
1 3 6
3 1 7
1 4 4
4 1 5
4 3 12
3 4 1*/

//dijkstra 
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<bitset>
#include<set>
#include<deque>
#include<queue>
#include<vector>
//#include<unordered_map>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define pii pair<int,int>
#define Pii pair<ll,ll>
#define m_p make_pair
#define l_b lower_bound
#define u_b upper_bound 
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll linf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=3e5+11;
const int maxm=2e3+11;
const int mod=1e9+7; 
const double eps=1e-5;
ll rd(){ll x = 0, f = 1; char ch = getchar();while (ch<'0' || ch>'9') { if (ch == '-')f = -1; ch = getchar(); }while (ch >= '0'&&ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }return x * f;}
inline ll qpow(ll a,ll b){ll res=1;while(b){if(b&1){res*=a;res%=mod;}b>>=1;a=a*a%mod;}return res;}
inline ll gcd(ll a,ll b){if(b==0) return a;return gcd(b,a%b);}
//iterator 
//head
priority_queue<pii>q;//从大到小 
int head[maxn],ver[maxn],Next[maxn],cnt,edge[maxn];
int dis[maxn],vis[maxn],n,m;
void addedge(int x,int y,int v){//链式前向星存边 
    Next[++cnt]=head[x];
    head[x]=cnt;
    ver[cnt]=y;
    edge[cnt]=v;
}
void dijkstra(int st){//单元最短路的源这里是1 
    memset(dis,inf,sizeof dis);
    dis[st]=0;
    vis[st]=1;
    q.push(m_p(0,st));
    while(!q.empty()) {
        int x=q.top().second;
        q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=Next[i]){
            int y=ver[i],z=edge[i];
            if(vis[y]) continue;
            if(dis[y]>dis[x]+z){
                dis[y]=dis[x]+z;
                q.push(m_p(-dis[y],y));
                vis[y]=1;
            }
        }
    }
    for(int i=2;i<=n;i++) printf("1->%d:%d
",i,dis[i]);
}
int main(){
    n=rd(),m=rd();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=rd(),y=rd(),z=rd();
        addedge(x,y,z); 
    }
    dijkstra(1);
} 
/*8 11
1 2 1
3 1 2
2 4 2
4 3 1
5 4 2
4 6 8
6 5 2
5 7 2
7 6 3
8 6 2
7 8 3*/