Young氏矩阵

一个 m x n 的Young氏矩阵是指，每一行数据都是从左到右排好序，每一列的数据也都是从上到下排好序。其中也可能存在一些INF的数据，表示不存在的元素，一个mxn的Young氏矩阵最多用来存放 r <= mn个元素。

详细见《算导》P.83

Young氏矩阵类似于堆的结构，主要实现的API包括以下：

1. void insert(int x)

功能：将一个元素x插入到矩阵中,复杂度O(m+n)

算法过程：

1) 判断矩阵是否为Full

2) 如果不为Full，插入元素到矩阵的右下角(row, col)位置，然后进行swim(row, col)将元素移动到合适位置。

2. int getMin()

功能：返回矩阵中的最小值,复杂度O(1)

算法过程：

1) 判断矩阵是否为Empty

2) 直接返回mat[0][0].左上角元素，依据矩阵的性质

3. int delMin()

功能：返回矩阵中的最小值，并把它从矩阵中删除,复杂度O(m+n)

算法过程：

1) 判断矩阵是否为Empty

2) 暂存mat[0][0]元素用于返回，把矩阵最右下角的元素放到mat[0][0]，使用sink(0, 0)进行下沉调整元素到合适位置

4. bool seach(int x)

功能：判断矩阵是否存在元素x,复杂度O(m+n)

算法过程：

版本1：通过递归的方式，比较当前mat[x][y] 和 key的关系，将划分到是否需要在(m-1)x(n)子矩阵和mx(n-1)子矩阵进行递归查找

版本2：初始位置为矩阵右上角，如果当前元素大于key，向左移动，如果当前元素小于key向下移动。

5. void sort()

功能：对矩阵元素进行排序，对矩阵执行元素个数次的delMin()操作就可以得到排序结果。复杂度O(n*m*(n+m))

辅助函数:

==两个函数的实现与实现堆的swim和sink操作思想完全一样==

void swim(int i, int j)

功能：对(i, j)位置元素进行上浮操作，与(i-1, j) 和 (i, j-1)位置的元素进行比较，与他们之间的最大值进行交换

void sink(int i, int j)

功能：对(i, j)位置元素进行下沉操作，与(i+1, j) 和 (i, j+1)位置的元素进行比较， 与他们之间的最小值进行交换

完整代码如下：

const int INF = 0x3fffffff;

class YoungMatrix {
public:
    YoungMatrix(int row, int col); // constructor
    ~YoungMatrix(); // destructor
    
    void insert(int x); // insert a element
    int delMin(); // delete and return the minimal element  
    bool search(int x, int version = 1); // search a element
    int getMin(); // return the minimal element
    // sort(); // 调用 n*n delMin()得到结果n*n*(n+n) O(n^3)

    // print the matrix
    void printMatrix() {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 0; j < col; j++)
                cout << mat[i][j] << "	";
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
    }

    /*** auxiliary function ***/
private:
    void swim(int i, int j); // swim the element at (i, j), 从右下角上升到左上角
    void sink(int i, int j); // sink the element at (i, j), 从左上角下沉到右下角 
    bool searchHelp1(int x, int y, int key); // recursive function to search the element, divide the problem into sub-matrix (m, n-1) and (m-1, n)
    bool searchHelp2(int key); // init the position in (0, col-1). like go down the stairs from right to left

private: 
    int **mat;
    int row, col;
    int num;
};

YoungMatrix::YoungMatrix(int row, int col) {
    this->num = 0;
    this->row = row;
    this->col = col;
    mat = new int*[row];
    for (int i = 0; i < row; i++)
        mat[i] = new int[col];
    for (int i = 0; i < row; i++)
    for (int j = 0; j < col; j++)
        mat[i][j] = INF;
}

YoungMatrix::~YoungMatrix() {
    for (int i = 0; i < row; i++)
        delete[] mat[i];
    delete[] mat;
}

void YoungMatrix::swim(int i, int j) {
    while (true) {
        int v = mat[i][j], p = -1;
        if (i - 1 >= 0 && v < mat[i - 1][j]) { v = mat[i - 1][j], p = 0; }
        if (j - 1 >= 0 && v < mat[i][j - 1]) { v = mat[i][j - 1]; p = 1; }

        if (p == -1) break;

        if (p == 0) {
            swap(mat[i - 1][j], mat[i][j]);
            i -= 1;
        }
        else {
            swap(mat[i][j - 1], mat[i][j]);
            j -= 1;
        }
    }
}

void YoungMatrix::sink(int i, int j) {
    while (true) {
        int v = mat[i][j], p = -1;
        if (i + 1 < row && v > mat[i + 1][j]) { v = mat[i + 1][j], p = 0; }
        if (j + 1 < col && v > mat[i][j + 1]) { v = mat[i][j + 1]; p = 1; }

        if (p == -1) break;

        if (p == 0) {
            swap(mat[i + 1][j], mat[i][j]);
            i += 1;
        }
        else {
            swap(mat[i][j + 1], mat[i][j]);
            j += 1;
        }
    }
}

void YoungMatrix::insert(int x) {
    // is full?
    if (num == col * row) {
        cerr << "Error: the matrix is full" << endl;
        return;
    }
    
    // put at the last position
    this->num++;

    int i = row - 1, j = col - 1;
    mat[i][j] = x;
    swim(i, j);
}

int YoungMatrix::getMin() {
    if (this->num > 0) return mat[0][0];
    else {
        cerr << "Error: The matrix is empty" << endl;
        return -1;
    }
}

int YoungMatrix::delMin() {
    if (this->num <= 0) {
        cerr << "Error: The matrix is empty" << endl;
        return -1;
    } else {
        int ret = mat[0][0];
        mat[0][0] = mat[row - 1][col - 1];
        this->num--;
        sink(0, 0);
        return ret;
    }
}

bool YoungMatrix::search(int x, int version) {
    if (this->num <= 0) return false;
    if (version == 1) {
        return searchHelp1(0, 0, x);
    } else {
        return searchHelp2(x);
    }
}


bool YoungMatrix::searchHelp1(int x, int y, int key) {
    if (x >= row || y >= col) return false;
    if (mat[x][y] < key) return searchHelp1(x + 1, y, key) || searchHelp1(x, y + 1, key);
    else if (mat[x][y] > key) return false;
    else return true;
}

bool YoungMatrix::searchHelp2(int key) {
    int i = 0, j = col - 1;
    while (true) {
        if (i >= row || j >= col) return false;
        if (mat[i][j] == key) return true;
        else if (mat[i][j] < key) i++;
        else if (mat[i][j] > key) j--;
    }
}

测试代码：

#include "YoungMatrix.h"
using namespace std;

int a[] = { 9, 16, 3, 2, 4, 8, 5, 14, 12 };

int main(int argc, char** argv) {
    YoungMatrix ym(4,4);
    int e;
    for (int i = 0; i < 9; i++) {
        ym.insert(a[i]);
    }
    ym.printMatrix();
    cout << "search result: " << ym.search(2, 2) << endl;
    cout << ym.delMin() << endl;
    cout << "search result: " << ym.search(2, 2) << endl;
     ym.printMatrix();
    return 0;
}