【DP】组合数字

Password Attacker

题意就是给 M 个关键字，组合成 N 字符长度的结果，每一个关键字都必须在 N 位的字符中出现，有多少种可能结果。

范围 1 ≤ M ≤ N ≤ 100.

举例假设 M = 3(key = 3, 7, 5)  N = 4 位字符长度

结果可以为3577, 3557, 7353, 5735.

下面的结果是不合法的

1357 // 1 没有在key中，不是合法关键字

3355 // 7 是关键字，但是结果中没有出现

357 // 结果必须是一个4位长度

思路1:

设立状态dp(i, j)表示在 M 个关键字中取前 i 个不同关键字，组成长度为 j . 所有结果总和

划分子问题

1. i == j 时候， 取前 i 个Key组成长度为 i ，结果为

2. i < j 时候，考虑dp(i-1, k)，选去第 i 个元素j-k次，第i个元素与前i-1个元素不同，把这j-k个第i个元素插入到已有长度k的序列中，就可以转移到dp(i, j)

3. i > j， 不考虑

那么对于2，如何插入？

已有的 k 个元素有 k+1 个位置可以进行插入，问题就是把 j-k 个元素插入到 k+1 个桶中有多少种结果？

用 表示第 i 个桶，那么问题就等价于的所有非负整数解。

我们把两边同时加上k+1,变成 的所有正整数解。

相当于给j+1个1，插入隔板把它们分到k+1个桶中，每个桶要保证至少有一个元素，所以一共有 j 个可以提供插入隔板的位置，总共有k+1个桶，所以需要在这 j 个空隙中选择出k个位置插入隔板就成k+1个桶。

答案为

最后的2，也就等于 

最后的答案就是dp(m, n)

源码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long int64;

const int64 M = 1000000007LL;
const int maxn = 105;
int64 C[maxn][maxn];
int64 dp[maxn][maxn];

void getCombination() {
    int n = maxn;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        C[i][0] = C[i][i] = 1LL;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
    for (int j = 1; j <= i; j++)
        C[i][j] = (C[i-1][j-1] % M + C[i-1][j] % M) % M;
}

int main() {

    getCombination();
    int t, m, n, cas = 1;
    scanf("%d", &t);
    while ( t-- ) {
        scanf("%d%d", &m, &n);
        // init
        memset(dp, 0LL, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; i++)    dp[1][i] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++)    dp[i][i] = (dp[i-1][i-1] * (int64)i) % M;
        
        for (int i = 2; i <= m; i++)
        for (int j = i+1; j <= n; j++)
        for (int k = i-1; k <= j-1; k++)
            dp[i][j] = (dp[i][j] + (C[j][k] * dp[i-1][k]) % M) % M;
        
        printf("Case #%d: %lld
", cas++, dp[m][n]);
    }
    return 0;
}

思路2:

qqz大神，dp(i, j)表示从 M 个元素中随机选取 i 个不同的元素组成 j 的长度的所有结果

划分子问题

1. i == j， dp(i, i) 随机从 M 个元素选取 i 个元素的全排列，为

2. i == 1， dp(1, j) 表示从 M 个元素中随机选取一个重复 j 次，结果为 M

3. i < j , ,

和的第一部分表示在dp(i-1, j-1)基础上，从剩下的M-i+1个数中取1个放到最后组成dp(i, j). 和的第二部分表示从已经选出的i个元素中挑1个放到最后。

最后的答案就是dp(m, n)

源码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using int64 = long long;
const int64 M = 1000000007LL;

int64 dp[105][105], A[105][105];

void initA() {

    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        A[i][0] = 1;
        for (int j = 1; j <= i; j++)
            A[i][j] = ((i-j+1) * A[i][j-1]) % M;
    }
}

int m, n;

int64 f(int i, int j) {
    if (dp[i][j] != -1) return dp[i][j];
    if (i == j) return dp[i][j] = A[m][i];
    else return dp[i][j] = (((m-i+1) * f(i-1, j-1)) % M + (i * f(i, j-1)) % M ) % M;
}

int main() {
    freopen("A-large-practice.in", "r", stdin);
    freopen("a_out.txt", "w", stdout);
    int t, cas = 1;
    initA();
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d%d", &m, &n);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            dp[i][j] = -1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) dp[1][i] = m;
        printf("Case #%d: %lld
", cas++, f(m ,n));
    }
    return 0;
}