特殊二阶递推式的一个关于最大公因数的性质

定义

对于互质的(a, b)，即(gcd(a, b) = 1)，有以下递推式:

[f_0 = 0, f_1 = 1, f_n = a imes f_{n - 1} + b imes f_{n - 2} (n ge 2) ]

引理1:(gcd(a, b) = gcd(b, a mod b))

证明略

引理2:若(gcd(b, c) = 1)，则(gcd(a imes c, b) = gcd(a, b))

证明略

定理1:(gcd(f_n, f_{n + 1}) = 1)

证明:

当(n le 2)时，结论显然成立

当(n > 2)时，(gcd(f_n, f_{n + 1}) = gcd(f_n, a imes f_n + b imes f_{n - 1}) = gcd(f_n, b imes f_{n - 1}) = gcd(f_n, b))

令(g = gcd(f_n, b))，则有(g|f_n, g|b)

因为(f_n = a imes f_{n - 1} + b imes f_{n - 2}, gcd(a, b) = 1)，所以(g|f_{n_1})，则有(g | gcd(f_n, f_{n - 1}))

由此可得(gcd(f_n, f_{n - 1}) = 1 Longrightarrow gcd(f_n, f_{n + 1}) = 1)

数学归纳即可

定理2:(f_n = f_{i + 1} imes f_{n - 1} + b imes f_{n - i - 1} imes f_{n - i - 1} (1 le i < n))

数学归纳即可

定理3:(gcd(f_n, f_m) = f_{gcd(n, m)})

证明:

不失一般性假设(n ge m)

当(n = m)，结论显然成立

当(n = m + 1)，根据定理1，有(gcd(f_n, f_m) = 1)，且(f_{gcd(n, m)} = f_1 = 1)，结论成立

当(n > m + 1)，根据定理2，有(f_n = f_{n - m} imes f_{m + 1} + b imes f_{n - m - 1} imes f_m)

则(gcd(f_n, f_m) = gcd(f_{n - m} imes f_{m + 1} + b imes f_{n - m - 1} imes f_m, f_m) = gcd(f_{n - m} imes f_{m + 1}, f_m) = gcd(f_{n - m}, f_m))

即可得(gcd(f_n, f_m) = gcd(f_m, f_{n mod m}))

证毕