S&p_13_参数区间估计

求参数置信区间的一般步骤：

1. 先求处未知参数θ的点估计。
2. 构造一个包含θ和θ_hat的随机变量J。
3. 使得J(θ,θ_hat)函数落在a与b之间，并其概率等于1-a：连续型，只需考虑等号成立的情况。
4. 等价变形，得到[θ_,θ^-] 就是参数θ的双侧1-a的置信区间。

区间估计

引例：

每个司机一年中得到多少张罚单。3张，点估计，2.5张，区间估计。显然一个区间比单值提供了更多的信息，且更能考虑到了误差。

1. 参数置信区间概念

 

 我们得到得置信区间是一个样本的统计量，而样本是由一个随机变量组成，所以样本得每一个个体取什么值在每次观测后他都不尽相同，当我们得到了一组观测值以后，我们可以得到一个置信区间得观测值。所以同理当我们得到n次样本观测值以后，我们分别带入置信区间得计算公式，就可以得到n个不同置信区间的观测值。θ的真值只有一个，假设是6，那么在n组不同样本观测值带入后，所得到的n个不同置信区间观测值之间，有些置信区间包括了6，而有些没有。这就是置信水平1-a的几何解释，例如我们去1-a=0.95，也就表示我们取了100组观测值，那么其中会有5个置信区间观测值并没有把真值6包含进去。平均来讲还是有95%个置信区间的观测值，他包含了真值6. 

1.2 求解置信区间

 

通过这样的观测值，我们可以得到样本均值。因为我们可以把样本均值作为总体均值的一个点估计，那么若我们要构造一个总体均值的区间估计的话，那么我就在这个点估计的范围构造一个范围，而这个范围的表达可以用X_bar - a, X_bar+b的形式表示。X_bar+a =θ_，而X_bar+b = θ^-。并且这里的a，b要满足我们所构造的区间，符合置信区间的定义，也就是θ_到θ-这样的区间，它包括真值u的概率等于1-a，即X_bar-a<u<X_bar+b的概率等于1-a。整理得到P（a'<=squ(n)*X_bar-u/σ <=b') = 1-a，其中a‘=squ(n)*b/σ，b’=squ(n)*a/σ。表达式改写后，这样就服从了标准正态分布。这就是正态总体抽样分布的第一个结论，这样a‘=-u_1-a/2，b‘=u_1-a/2。将其带入表达式中，整理得到u的双侧置信区间。

 

求参数置信区间的一般步骤：

1. 先求处未知参数θ的点估计。

2. 构造一个包含θ和θ_hat的随机变量J。

3. 使得J(θ,θ_hat)函数落在a与b之间，并其概率等于1-a：连续型，只需考虑等号成立的情况。

4. 等价变形，得到[θ_,θ^-] 就是参数θ的双侧1-a的置信区间。

2. 正态总体参数的置信区间

2.1 单正态总体参数的置信区间 

 

这个J函数中，J函数的未知参数只有u，其他都是已知量。现在只要取a=u_a/2=-u_1-a/2，b=u_{1-a/2，那么这里的a和b就可以满足J这个随机变量落在a，b内的概率等于1-a。}