Linear_algebra_05_相似对角形

山东大学——线性代数:

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1. 相似矩阵的简单性质： B=P^-1AP. 

• A~B => r(A)=r(B)
• A~B => |A|=|B|
• A~B => A^-1= B^-1
• A~B => f(A)=f(B)

相似矩阵的简单应用：A~B => A^k = (P^-1BP)^k=(P^-1B^kP)直接做A的k次幂比较难做，而做A的相似矩阵对角阵的k次幂相对更简单。

2. 特征值和特征向量求法的步骤：

　　

3. 特征值和特征向量的性质

• 性质1. n阶矩阵A的相异特征值λ1、λ2、...、λm所对应的特征向量ξ1、ξ2、...、ξm线性无关。
• 性质2：相似矩阵有相同的特征值。A~B => |A-λE|= |B-λE|

4. 矩阵相似对角化的步骤：

　　

一般矩阵对角化的问题，当他有重特征值的时候要判断一下它矩阵的秩，然后，当它与对角阵相似的时候，把它所有的特征值和特征向量求出来，所有特征向量组成了P，所有特征值组成Λ。 

一、矩阵的相似

 

1.1 矩阵的相似定义

自反性：自己跟自己相似，相似变换矩阵E（单位阵）。

对称性：A和B相似，B与A也相似，相似变换矩阵P^-1

传递性：A与B相似，B与C相似，则A与C相似。

B= P₁^-1AP₁  =>  C = P₂^-1BP₂ =  P₂^-1P₁^-1AP₁ P₂ 

所以A与C的相似变换矩阵式P₁ P₂ 

2）相似可以推出等价，而等价不能推出相似。

 

 相似矩阵的秩是相同的。 

1.2 相似矩阵的简单性质

   

2）方阵的行列式等于行列式的乘积。P的行列式与P逆行列式的倒数。

3）A=P^-1BP => A^-1 = P^-1B^-1 p

1.3 相似矩阵的简单应用

直接做A的k次幂比较难做，而做A的相似矩阵对角阵的k次幂相对更简单。

 

 将P矩阵拆开，再分别与A矩阵相乘。得到了4与-2，及P矩阵。

而（1，2）矩阵就不能与A（1，2）相乘后的矩阵（5，3）线性相关。

 

任意给定A，Apha，Beta，Aa=ka，而ABeta != kBeta

A与a相乘后，新向量与原来向量有线性关系。

2.1 特征值和特征向量

 求特征向量，就是将A乘以a。

 

 求特征值，A*a=λ*a => (A-λE) *a=0，也就是求齐次性方程组（A-λE）=0有没有非0解。 

 

二、特征值与特征向量的求法

  

  

 

试根时候，以常数项的因子来试根。用+-1，+-2，+-3，....+-28试。得到一个根后，再用常除法来除：

 

 

 

 降秩的方阵0一定是他的特征值，而满秩的方阵或可逆的方阵，0一定不是他的特征值。

 

三、特征值与特征向量的性质 

 

A*的特征值就是|A|除以A^-1的特征值。

   

矩阵相似对角化的步骤：

　　

一般矩阵对角化的问题，当他有重特征值的时候要判断一下它矩阵的秩，然后，当它与对角阵相似的时候，把它所有的特征值和特征向量求出来，所有特征向量组成了P，所有特征值组成Λ。